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lavoro pubblicato martedì 20 agosto 2013
ultima lettura lunedì 11 novembre 2019

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di gpdimonderose. Letto 1874 volte. Dallo scaffale Filosofia

..THOM'S CATASTROFE TEORIA delle catastrofi di Thom RENÉ THOM'SCatastrofi Quantum catastrofe La teoria delle catastrofi di René Thom e Z...

..THOM'S CATASTROFE TEORIA delle catastrofi di Thom RENÉ THOM'SCatastrofi Quantum catastrofe La teoria delle catastrofi di René Thom e Zeeman può essere modellato con i sette 'Catastrofi elementari' 3 data da Thom, soprattutto le catastrofi noto come il 'cuspide' e la 'farfalla'. Lungi dall'essere metafisica vuoti o Scolastica teoria delle catastrofi. Un esame più sistematico della letteratura dialettica da una catastrofe prospettiva teorica sarà effettuata in una data successiva. Alcune osservazioni sono in ordine alla natura della teoria delle catastrofi. Questa teoria può essere utilizzato in un varietà di modi che vanno da (a) le domande rigorose, dove le ipotesi sottostanti il La teoria può essere convalidato, e in cui viene chiesta spiegazione quantitativa e la previsione, a (b) i casi che siano fatte valere modelli catastrofali a priori, ma vengono valutati empiricamente e quantitativamente, a (c) modellazione più qualitativa dei fenomeni utilizzando gli archetipi catastrofe (forse con un'aspirazione al futuro trattamento quantitativa), a (d) uso puramente simbolico o metaforico del immaginario visivo della teoria. La maggior parte della discussione in questo documento sarà alla fine qualitativa questo spettro, ma gli aspetti più matematici della teoria di Thom sono anche rilevanti. Per esempio, transizioni di fase, come l'ebollizione o congelamento di liquidi fenomeni dialettici, e questi fenomeni può essere descritto da teoria delle catastrofi la catastrofe catastrofe della teoria delle catastrofi è dato con l'introduzione della cuspide, il più diffuso dei tipi di catastrofe. L'interpretazione'interpretazione catastrofe teoria delle catastrofi la catastrofe farfallacuspide, quello in cui la lotta degli opposti può portare alla creazione o dissoluzione di una sintesi indipendente.La catastrofe cuspide La teoria di Thom è sulle transizioni ("catastrofi elementari") in cui sia una o due variabili "comportamento" (effetti) possono cambiare discontinuo a seguito di continue variazione di fino a quattro parametri di "controllo" (cause) 5 . I tipi di catastrofe sette, in ordine di complessità crescente, sono: piega, cuspide, coda di rondine, farfalla, umbilic iperbolica, ellittica umbilic, e paraboliche umbilic cuspide e la farfalla (figure 1 e 4), che offrono fondamentalmente diverse interpretazioni della catastrofi possono anche modellare fenomeni dialettici, ma non saranno discussi. Nella catastrofe a cuspide, ci sono una variabile comportamento e due parametri di controllo la cui rapporto può essere modellato con la 'macchina catastrofe' (Zeeman, 1976, 1977)modello elasticuspide biforcazione'Catastrofe' catastrofe modello di catastrofe a cuspide (Zeeman 'catastrofe') catastrofe catastrofe di 'isteresi'. L'esistenza all'interno della biforcazione set di due possibili equilibrio stati (o, più in generale, la scissione della superficie comportamento in fogli superiore ed inferiore) è denominato 'bimodalità'. Il fatto che il sistema non cambia immediatamente dopo il suo stato punto 4, anche se ß minimo è favorito, e fa solo quando attraversa l'altra confine del set di biforcazione, si chiama 'ritardo'. Il vertice della cuspide della superficie di controllo, e la punto corrispondente in cui si biforca superficiali di comportamento, sono noti 'singolarità'. Molto piccole variazioni del moto del punto comportamento vicino alla singolarità possono portare a passaggio sul sia la superficie inferiore o superiore, questo è noto come 'divergenza'. Va sottolineato che il percorso del punto di controllo è in alcun modo dettato dalla teoria, ma devono essere fornite nuovamente, per ogni fenomeno da modellare. Anche un sistema di coordinate per la punto di controllo deve essere scelto. Il lettore potrebbe gettare uno sguardo avanti a figure 3a e 3b per vedere alcune altre possibili traiettorie punto di controllo. Il primo di questi utilizza fattori di controllo contrastanti, ciascuna favorendo un particolare stato di equilibrio. (Il set di biforcazione è quindi un'arena di conflitto.) L' secondo utilizza fattori normali e scissione. Il primo parametro determina effettivamente quale stato il sistema è in, mentre il secondo specifica la distanza tra questi stati cioè la distanza tra la superfici superiore ed inferiore del comportamento. In realtà, le proprietà di 'ritardo', e la discontinuità della transizione tra i due possibile minimi, non sono strettamente necessari nella catastrofe cuspide, anche quando la biforcazione impostato è completamente attraversato. Alcuni sistemi possono subire una transizione in corrispondenza o vicino al momento in cui appare un minimo più profondo (ad esempio immediatamente oltre il punto 4 nella Figura 1). In tali casi l' transizione avviene all'interno del set di biforcazione, e questo è noto come il convegno 'Maxwell'. Anche
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 5 se il sistema è costituito da molte unità, ciascuna delle quali può subire una transizione indipendente tra i due stati, quindi la popolazione di unità, presi collettivamente, può esibire un liscio curva di transizione. Ciò assomigliare ad un ipotetico percorso parallelo a quello mostrato nella figura 1, ma 'dietro' la singolarità, cioè prima che la superficie di comportamento si è biforcata in due fogli. Questi sono gli elementi essenziali della catastrofe cuspide. Potrebbe essere istruttivo citare alcuni dei le applicazioni che sono state fatte su questo modello. Il fenomeno delle transizioni di fase ha già stato menzionato come esempio standard di dialettica, data da Hegel, Engels, e la maggior parte, se non tutte, le successive scrittori marxisti su questo argomento. Qui la temperatura e la pressione sono in conflitto fattori. Il fenomeno presenta ritardo nelle transizioni da stati soprasaturi, ma più di solito segue la modalità di Maxwell. Altri usi o illustrazioni della cuspide, con diversi gradi di elaborazione matematica ed empirica, hanno incluso l'analisi del nervo impulso, il battito cardiaco, archivi cicli di mercato, la differenziazione embrionale, Eulero di instabilità, conflitti e di pacificazione militare, ritmi neurologici e fisiologici, caustiche di luce, e così su (Zeeman, 1976, 1977). 3. Le leggi dialettiche 3.1. Quantità e qualità Il rapporto della catastrofe cuspide alle leggi classiche della dialettica riassunto in Figura 2. La prima legge, 'la trasformazione della quantità alla qualità,' è vicino a, anche se non esattamente sinonimo, la generazione di effetti discontinue da cause continue. I due modi comportamentali della cuspide solito sono qualitativamente distinta, come nella transizione di fase esempio, dove le due regioni di densità corrispondono al gas e gli stati liquidi. Da un prospettiva dialettica, cambiare la natura quantitativa, coinvolgendo aumento 'semplice' o diminuzione, che non altera il carattere base del sistema non può continuare all'infinito, ma a un certo punto (Hegel 'linea nodale'), porta sempre a una trasformazione qualitativa (o 'salto'). L'acqua, quando riscaldata, non va su sempre più caldo e più caldo a tempo indeterminato, ma ad una certa temperatura critica, comincia a trasformare in vapore, e subisce un cambiamento qualitativo da liquido a gas. La dialettica descrizione è identica alla catastrofe teorica. Hegel 'linea nodale' è l'insieme di biforcazione, e il suo 'salto' è la catastrofe. La trasformazione della quantità in qualità può essere visto anche nella proprietà cuspide di divergenza, in cui piccole differenze quantitative nel percorso del punto di controllo vengono amplificati e producono qualitativamente diversi risultati. Speciazione evolutiva, un fenomeno che presenta questo proprietà, è stato recentemente oggetto di studio teorico catastrofe (Dodson, 1976; Waddington, 1974). E, come nota Graham (1971): 'Per Marx ed Engels, la teoria dell'evoluzione di Darwin fu un importante esempio del principio della transizione dalla quantità alla qualità. Questo principio, come una parte della dialettica hegeliana preceduto Darwin, naturalmente, ma Marx e Engels considerati darwinismo una rivendicazione del processo dialettico. Nel corso della selezione naturale, diversa specie sviluppate da antenati comuni; questo passaggio potrebbe essere considerato un esempio di accumulato cambiamenti quantitativi in seguito in un cambiamento qualitativo, quest'ultimo cambiamento è contrassegnata dal momento in cui il gruppi divergenti non potrebbero più incrociarsi '.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 6 3.2. Compenetrazione degli opposti Nella dialettica, il concetto di 'sviluppo' si distingue da quello della crescita per indicare che vero cambiamento non è un processo regolare, ma quello in cui le fasi di evoluzione graduale sono interrotti da interruzioni di continuità. Questo sviluppo è detto di aver luogo attraverso l'unità e la lotta - o per usare la formulazione originale di Engel, attraverso la reciproca compenetrazione - degli opposti. Collegato opposti appaiono nel modello cuspide in diversi modi (Figura 2b): Figura 2. Le tre leggi dialettiche interpretati in termini di cuspide. Figura 2a. La trasformazione della quantità in qualità è illustrato nella proprietà di catastrofe o quella di divergenza, anche se alcuni fenomeni possono esibire entrambi. Figura 2b. L'unità e la lotta degli opposti si manifesta nelle tre proprietà linked che sono indicati, ad eccezione di che i fattori di controllo a volte possono essere date in termini di fattori di normali e di scissione. Figura 2c. Negazione della negazione può essere dato il primo o il secondo interpretazione di cui sopra. (Il diagramma inferiore è non la superficie di controllo per la parte superiore.) Vedere Sezione 3 per ulteriori discussioni. (1) La superficie comportamento è bimodale oltre il punto di singolarità, ei due comportamentale possibilità sovrappongono all'interno della regione del set biforcazione. Inoltre, l'inaccessibilità della superficie centrale (? nella Figura 1c) indica l'impossibilità di compromesso (valori intermedi di il comportamento variabile) tra le due modalità.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 7 (2) I parametri di controllo, quando somministrato come fattori contrastanti (ad esempio temperatura e pressione in il caso transizione di fase) si oppongono l'un l'altro, ma agire congiuntamente sul sistema. Se un fattore è dominante o presenti esclusivamente, porterà il sistema in uno o l'altro dei alternate Stati. Poiché le regioni di sovrapposizione dominanza, se entrambi i fattori sono quasi in equilibrio, c'è una lotta di opposti. (3) All'interno del set di biforcazione, la funzione potenziale ha due minimi, e che derivano dalla compenetrazione dei domini di influenza dei fattori contrastanti. Un minimo corrisponde allo stato attuale del sistema, l'altra a uno stato potenziale alternativa. 8 Nella cambiando forza relativa dei due minimi, vi è la lotta tra la vecchia che è morire lontano o scomparendo e il nuovo che sta nascendo o di sviluppo. Nel inversione della relazioni di dominanza tra gli opposti, uno di qualità viene a sostituire un altro. 9 Questo processo di sviluppo è in realtà il 'contenuto interno' della trasformazione della quantità in di qualità, vale a dire dopo una lunga serie di cambiamenti graduali, la vittoria del nuovo sul vecchio si verifica improvvisamente e discontinuo. (In realtà, sia la dialettica e la teoria della catastrofe consentono anche di cambiamento qualitativo che è continua, ma almeno più rapido rispetto agli eventi che portano fino a esso.) Dopo il cambiamento qualitativo o catastrofici 'salto', il processo continua a svolgersi e completarsi, secondo le circostanze dettagliate della situazione. 3.3. Negazione della negazione La terza legge dialettica può essere somministrato almeno due diverse interpretazioni in termini di cuspide (Figura 2c). (1) Il processo continua oltre la prima trasformazione, cioè ogni negazione rappresenta un salto di qualità. Questo può essere rappresentato concatenando due o più cuspidi. (Se essi sono collegati in un modello a spirale, questo inoltre suggerire l'idea che la seconda negazione ripristina qualche condizione prima, ma a un livello superiore.) (2) La negazione della negazione può essere visto anche all'interno di una singola cuspide nella seguente sequenza. Inizialmente, vi è un unico minimo potenziale, e corrispondenti modalità comportamentale, e la predominio incontrastato di uno dei fattori contrastanti. Al momento dell'entrata in set di biforcazione, questa condizione è negata, e sostituito con contraddizione, bimodalità, e lotte. Infine, la lotta degli opposti culmina in un salto di qualità: il sistema si verifica la seconda negazione, unimodality viene ripristinato - ma nel nuovo stato. Qui è anche una interpretazione della triade familiare di tesi, antitesi e sintesi, che è strettamente legato al principio della negazione della negazione. La triade non è una caratteristica importante della dialettica di Engels e Marx, che schernivano i suoi usi "di legno", ma si è trovato, almeno implicitamente, nei loro scritti. Può essere somministrato due possibili interpretazioni. Nel primo, la tesi, l'antitesi, e sintesi sono le tre superfici di due cuspidi concatenati. Nel secondo, la regione esterna al set di biforcazione (prima dell'entrata in esso) è la tesi, la regione al suo interno è l'antitesi, cioè la dominio di contraddizione, e la regione sull'altro lato di esso (in cui il punto di controllo emerge, causando il 'salto') è la sintesi.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 8 4. La cuspide di contraddizione 4.1. Dialettica del capitalismo L'interpretazione cuspide dei principi dialettici può essere illustrato con alcuni esempi selezionati da (o connessi), gli scritti di Marx e di Engels sulla economia politica (Engels, 1941, 1968; Marx, 1904, 1947, 1967, 1968). Generale qualsiasi sistema che subisce un cambiamento discontinuo tra uno stato stabile e un altro può essere modellato con la cuspide, in modo che possiamo applicare alla transizione tra i sistemi di produzione, e in particolare il passaggio dal capitalismo al socialismo, che Marx predisse e lavorato in direzione. Ci sono due modi in cui questo passaggio è descritto. Uno potrebbe essere chiamata la 'struttura profonda' del processo, e viene gettato in termini di una dialettica di fondo tra forze e rapporti di produzione. Il secondo fornisce la 'struttura superficiale', cioè quello che è chiaramente visibile. Qui il focus è sul processo reale attraverso il quale i rapporti di produzione sono alterati, e sugli agenti di cambiamento storico, le classi sociali. La lotta tra le principali classi contrapposte può ovviamente essere rappresentato sulla cuspide, come mostrato in figura 3a, dove la forza della borghesia e proletariato sono il conflitto fattori di controllo. Il percorso del punto di controllo in questa figura caratterizza approssimativamente la concezione dialettica di come i sistemi si sviluppano e si trasformano. In primo luogo, un controllo variabile aumenta e stabilisce il suo predominio. Questo processo si dà luogo inevitabilmente a crescita della forza di un fattore opposte, e contemporaneamente ad un rallentamento graduale aumento del primo. Cioè, il successo del sistema conduce invariabilmente, prima della comparsa e poi l'intensificazione delle contraddizioni interne. Infine, il secondo fattore, tramite un salto catastrofico, raggiunge dominanza, e il sistema è trasformato. L'analisi data da Turner (1974) di 'dell'immaginario causale dialettico' dà una possibile conto della sequenza di eventi attraverso cui questo passa. Le fasi sono approssimativamente come segue: (1) una prima forma di organizzazione sociale, nel caso di specie, l'emergere del capitalismo rapporti di proprietà; (2) Dominazione delle classi sociali possidenti più di altre classi; (3) Obiettivo opposizione di interessi fra le classi della distribuzione della proprietà e del potere; (4) La coscienza di questa opposizione di interessi da parte della classe dominata; (5) politicizzazione della popolazione soggiogata e aumento della tensione; (6) conflitto rivoluzionario; (7) la riorganizzazione sociale e la ridistribuzione della proprietà e del potere.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 9 Figura 3. Alcune applicazioni marxiani della cuspide. Figura 3a. Lotta di classe conduce al socialismo rappresentato come una traiettoria sulla superficie di controllo. Fattori contrastanti sono i punti di forza delle classi borghesi e di lavoro. La variabile di comportamento è parte della socializzazione dei produzione. Il percorso del punto di controllo con la più piccola sono mostra una traiettoria alternativa improbabile ancora concepibile. Figura 3b. Polarizzazione. Orientamento politico, la variabile di comportamento, diventa sempre più polarizzato lungo linee di potere e privilegi, come la tensione sociale cresce (ad esempio il punto 5 nella traiettoria mostrata in 3a.) Figura 3c. Proletarizzazione dei capitalisti borghesi (pb) e minori meschine (mc) con la concentrazione del capitale e l'espansione di monopolio. MC rappresenta grandi capitalisti; W, lavoratori. Simile alla polarizzazione mostrato in 3b, ma alterata geometria cuspide dà un confine mobile tra le classi dominanti e subordinati. Figura 3d. Una visione marxiana modificata e altamente idealizzata di fasi storiche, mostrando soprattutto discontinuo modifiche tra i sistemi di produzione, ma anche la possibilità di percorsi alternativi. Figura 3e. La cuspide secondaria del fascismo. L'ingresso nel gruppo biforcazione della transizione capitalismo-socialismo, ad esempio, punto 4 e 5 nella traiettoria di 3a, può innescare una reazione forte. Questo può generare una nuova singolarità topologica, con una cuspide 'secondaria', che divide la superficie del capitalismo in liberali alternative democratiche e fascista. Inversione del movimento di punto di controllo, sia prima che dopo il socialismo viene raggiunto, può causare un improvviso passaggio da non capitalismo democratico ma al fascismo. Si veda la discussione nella sezione 4.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 10 Questa sequenza di fasi è modellato dal percorso del punto di controllo attraverso i punti da 1 a 7 in Figura 3a. E 'al punto 4, in cui l'opposizione di interessi è consapevolmente percepito, che il viene inserito insieme biforcazione. Per la prima volta, esistono due possibili equilibri, un capitalista e un socialista, anche se il primo è ancora fortemente favorita. La lotta degli opposti si intensifica, ma anche dopo l'equilibrio del potere si è spostato, il vecchio stato di equilibrio persiste fino al 'suo minimo 'scompare completamente e improvvisamente. Il processo generale esemplifica molte caratteristiche dell'interpretazione teorica catastrofe delle leggi dialettiche, data nella sezione precedente. Inutile dire che questa analisi è di carattere generale, può essere applicato a qualsiasi situazione di conflitto diadico e di entrare in conflitto teorie che differiscono dal modello marxiano. La proprietà divergenza della cuspide può anche essere utilizzato per modellare il processo di polarizzazione (Figura 3b), e il confine mobile tra classi (figura 3c). Quest'ultimo dato fa uso di una forma leggermente più complessa della geometria cuspide, utilizzato da Zeeman (1977) per l'analisi dei fenomeni embriologici ed ecologico. Conto di Marx della proletarizzazione della piccola borghesia e della inevitabile diminuzione del numero dei capitalisti è semplicemente raffigurati. Gli figura quasi suggerisce la sorpresa di coloro, che, concependo di sé tra i privilegiata, improvvisamente trovare la realtà della loro posizione economica di essere altrimenti. Nel conto deep-struttura della transizione tra sistemi di produzione, lo sviluppo delle forze produttive della società in una determinata fase conduce invariabilmente alla comparsa di contraddizioni tra queste forze e le relazioni sociali attraverso cui produzione è organizzata. Queste relazioni, che inizialmente promuovono la crescita delle forze produttive, diventano fuori moda, e bloccare la loro ulteriore sviluppo, la contraddizione è finalmente risolta in un 'Sintesi' in cui il sistema si ristruttura secondo un nuovo e più avanzato modello di relazioni sociali. L'uso della cuspide per modellare questo livello di analisi non è evidente, ma le forze della produzione e dei rapporti capitalistici che li organizzano potrebbe anche essere preso come conflitto fattori. Lo sviluppo della prima, oltre un certo punto, tende, secondo Marx, per favorire un socialista sistema, ed è legato alla crescente forza della classe operaia, mentre quest'ultima agisce come un fattore conservativo per conto della classe capitalista e del sistema di produzione. Una traiettoria simile a quello mostrato nella figura 3a sarebbe simboleggiare come, dopo la scomparsa del sistema feudale, l'emersione dei rapporti di produzione capitalistici promuove la crescita delle forze produttive, che a sua volta successivamente supera e / o indebolisce queste relazioni. Ancora, la regione all'interno della set biforcazione rappresenta la contraddizione interna che si genera tra il produttivo forze e relazioni, e l'esistenza simultanea di entrambi uno stato di equilibrio reale di capitalismo e un potenziale uno del socialismo. Questo uso della cuspide è meno convincente rispetto al suo precedente applicazione per la lotta delle classi opposte, ma forse queste due concezioni possono essere uniti parlando dei fattori contrastanti 'appropriazione privata' contro 'produzione sociale.' 4.2. Progresso e regresso Come la cuspide può essere utilizzata per rappresentare la transizione tra sistemi di produzione, lo storico fasi di Marx, dalla Asiatic al socialista (o comunista), possono essere visualizzati tramite la concatenazione cuspidi, come in figura 3d, in tal modo anche illustrando istanze successive del principio della negazione della negazione. La figura suggerisce anche la possibilità di momenti di scelta e
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 11 percorsi alternativi. Il moto del punto di controllo non è fissato dalla teoria, (Thom o, quanto a questione, Marx), e anche se il percorso generale dato in Figura 3a può essere il 'tipo ideale' per sviluppo dialettico, le deviazioni sono da aspettarsi. Il risultato della lotta degli opposti è ha detto di essere, nella migliore delle ipotesi, solo generalmente prevedibile, in ogni caso specifico, non si può prevedere il corso di eventi. Una varietà di tali scostamenti è possibile. In effetti nell'analisi di Turner accennato in precedenza, le transizioni dalle fasi 1 a 2, e 2-3 sono, per Marx, relativamente priva di problemi, ma transizioni dalla fase 3-4, 4-5, e 5-6 sono soggetti a "intervengono condizioni empiriche. ' Ingresso alla regione cuspide non è effettivamente garantita, poiché i fattori che sono necessari per l'opposizione di interessi diventare coscientemente percepito può essere assente. La classe operaia può semplicemente organizzare per garantire migliori condizioni di lavoro ma non sviluppare coscienza di classe, nel qual caso il sistema rimarrà fuori del set biforcazione, e la possibilità di uno stato di equilibrio alternativa volontà non venire all'esistenza. È anche ipotizzabile che dopo aver inserito il set biforcazione, il controllo punto potrebbe ripercorrere i suoi passi come il risultato di influenze interne e / o esterne. Una retroazione relazione può esistere nella regione della biforcazione impostato tra la funzione di energia, che rappresenta la forza relativa o probabilità di effettivo e potenziale dei sistemi stati, e la moto del punto di controllo. Cioè, il riconoscimento dell'esistenza del nuovo, ma non realizzato possibilità equilibrio può rafforzare una o l'altra delle parti contendenti (o entrambi). Così, moto verso il confine catastrofe generatrice può essere accelerata, o, al contrario, ritardato - o addirittura invertita. Ma un sistema che è andato lontano nella direzione del cambiamento, e fu costretto all'indietro verso la sua stato iniziale, sarebbe improbabile a guardare come era in principio. L'ingresso nel gruppo di biforcazione la transizione del capitalismo-socialismo può indurre una cuspide 'secondario' per formare (Fig. 3e) nel 'Superficie capitalista' per produrre un nuovo paio di alternative: un sistema capitalistico con liberale politica democratica o uno accoppiate ad un regime fascista. La direzione del movimento rilevato del sistema verso il nuovo potenziale minima provoca una reazione, che, se sufficientemente potente, genera il secondo singolarità topologica, e un nuovo potenziale stato di equilibrio nella direzione opposta. Ora, l'inversione della direzione di moto del punto di controllo e / o la erosione - o forse la scomparsa - della superficie di equilibrio del capitalismo democratico può condurre, attraverso un cambiamento discontinuo, al fascismo. Così, anche, possibile l'inversione di una transizione al socialismo che è già stato compiuto. Altre varianti sono possibili. Ci possono essere influenze casuali, interni o esterni al sistema, che influenzano il moto del punto di controllo. Per esempio, dove le forze e le relazioni della produzione sono presi come i fattori di conflitto, un improvviso calo nella forza del capitalista relazioni, ad esempio a causa di guerra, possono scatenare una catastrofe presto, anche se né la produttività relazioni, né le forze produttive sono ben sviluppati (traiettoria alternativa mostrata tratteggiata Figura 3a). Il modello teorico catastrofe è solo una struttura scheletrica per l'analisi e la esposizione, si può aggiungere a questa funzionalità aggiuntive come retroazione, fluttuazioni casuali, e così on.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 12 5. La farfalla di riconciliazione 5.1. La catastrofe farfalla La catastrofe farfalla è più complessa della cuspide, avendo quattro parametri di controllo (a, b, c, d) che colpiscono una singola variabile comportamentale. Le nuove variabili di controllo, C e D, chiamato il ' pregiudizio 'e ' Butterfly ' fattori, sono discussi di seguito. Come prima, i primi due parametri possono essere sceltifattori sia come conflittuali o come scissione e normale. È impossibile rappresentare questa forma completamente in due dimensioni così la Figura 4a mostra due dimensioni selezionate. Figura 4. La catastrofe farfalla. Figura 4a. Sezioni della biforcazione fissati nel piano (a, b) per diversi valori di C, il fattore di polarizzazione, e, d l' Fattore farfalla. Figura 4b. Sezioni della superficie di comportamento per i percorsi tratteggiata Q e R. Per valori negativi del fattore di farfalla, curve cuspide di tipo con due minimi sono spostati per il fattore di distorsione. Per i valori positivi, una terza minimo emerge. Figura 4c. Superfici di controllo e di comportamento per c = 0, d> 0. Figura 4d. Comportamentale minimi di tutte le posizioni sulla superficie di controllo. Vedere la Sezione 5.1.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 13 Per valori negativi del fattore farfalla, la catastrofe farfalla riduce ad una cuspide che è oscillato in un senso o nell'altro dal parametro bias. Per valori positivi della farfalla fattore, la complessità di questa catastrofe si manifesta: il set di biforcazione appare alquanto come due insiemi di biforcazione delle cuspidi, collegati tra loro in un terzo vertice. Come mostrato in Figura 4b, traiettorie di tutto il set biforcazione danno sia due equilibri minimi, che possono essere considerati come alternative cuspidi ordinarie, ovvero tre Tali minimi, quando 'compromesso' un intermedio è stato aggiunto tra gli altri due. Figura 4e mostra le superfici di equilibrio e di comportamento per nullo polarizzazione e un fattore farfalla positivo, e la Figura 4d mostra le combinazioni di equilibrio minimi che esistono in tutte le posizioni sulla superficie di controllo. Notare che il minimo compromesso che esiste in tutto il 'tasca esterna,' ABC, diventa l'unico stato possibile nel 'interno tasca, 'ADC. Come già suggerito, la dialettica non progredisce sempre verso il più 'avanzate' stati di lo sviluppo sociale. Nella dialettica critica di Sartre (Desan, 1965; Sartre, 1977), un genere diverso verifica di processo, che può essere modellato come una traiettoria circolare sulla cuspide. Sartre ritrae come gli individui, inizialmente in una condizione di isolamento e alienazione (' serialité ' ), sono costretti adorganizzare, guidati dai loro necessità e catalizzata dalla presenza di gruppi di opposizione in giro loro. Da una unione primitiva (un 'groupe en fusion' ') ci si evolve un' gruppo 'vero tenuto insieme da'Giuramento (il pegno e l'impegno dei singoli membri) e 'terreur' (la minaccia dellacollettività e la paura di lasciarlo). Il gruppo non può sopportare la necessità di ulteriori consolidamento, e si sviluppa in direzione di istituzionalizzazione e burocratizzazione, che infine completa il cerchio e restituisce all'individuo di alienazione e impotenza. Con la formazione del gruppo, il sistema entra, per così dire, la biforcazione impostato. Da qualche parte in questo processo, sia con la trasformazione di ritardo e improvvisi, o più continuo, il comportamento lo stato passa dal senso di impotenza e di autonomia di azione individuale, per la potenza e la rigidità del l'azione collettiva. Carisma diventa routinario, le idee si trasformano nei loro opposti, e la soluzione diventa parte del problema. 5.2. Due tipi di dialettica Dal punto di vista della teoria delle catastrofi, la stragrande enfasi nella dialettica marxiana sulla contraddizione e opposizione riflette una fissazione ingiustificata sulla cuspide. La farfalla catastrofe espone anche una dialettica, ma quello in cui la lotta degli opposti può essere riconciliati. I precedenti interpretazioni dei principi dialettici in termini di cuspide tengono come bene per la farfalla, poiché quest'ultimo comprende la cuspide come un caso speciale. Tuttavia, l'ulteriore caratteristiche della catastrofe farfalla offrono una concezione alternativa della seconda e terza principi dialettici. (L'interpretazione del passaggio dalla quantità alla qualità è solo accresciuto dalla possibilità di salti discontinui allo stato compromesso). All'interno set biforcazione della catastrofe farfalla, non vi è più una lotta degli opposti in cui uno o l'altro lato deve essere vittoriosi, ma anche la possibilità di una stabile intermedia stato. Questa possibilità è assente nella cuspide dove il foglio intermedio nella superficie comportamento corrisponde ad un massimo instabile. La possibilità di compromesso appare in virtù della due variabili di controllo addizionali, il primo parametro di polarizzazione che può bilanciare la forza del fattori contrastanti, allora il parametro farfalla che può indurre la creazione del nuovo stabile minimo. Una diade volatile è trasformato in una triade precario e poi in una tetrade stabile. Gli negazione rappresentata dalla lotta degli opposti all'interno della biforcazione set cuspide stessa è negato,
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 14 non necessariamente per la vittoria di un fattore di conflitto sopra l'altro (anche se questa resta una possibilità), ma piuttosto dalla comparsa di una terza minimo stabile, che in alcuni casi sarà prevenire il dominio dei minimi in conflitto. Allo stesso modo, la triade di tesi, antitesi, e sintesi può essere interpretata in modo nuovo e semplice: Le due superfici esterne della farfalla sono la tesi e antitesi, e la tasca del compromesso è la sintesi. Si può obiettare che un vero e proprio 'sintesi' o 'riconciliazione' non è semplicemente un compromesso tra alternative contrastanti. Questo è vero. Discorso dialettico, attingendo alla ricchezza del naturale lingua, e che riflette la concretezza e la dipendenza dal contesto dell'esperienza umana, non può essere totalmente rappresentato all'interno di un formalismo matematico astratto. Eppure, Thom topologico teoria fa riconoscere la necessità di un impulso indipendente che forgia la sintesi, in Oltre al parametro di polarizzazione che regola semplicemente il relativo equilibrio tra il conflitto forze e non può da sé dar luogo a una sintesi. Compromesso può essere raggiunto anche non a poco a poco, ma da una qualitativa 'salto,' uno non meno drammatica di quella che caratterizza il vittoria di uno degli opposti. Inoltre, in molti casi, una sintesi genuino comporterebbe un certo aspetto di compromesso, cioè ci sarà spesso una variabile la cui gamma media riflette l' riconciliazione degli opposti. Nel passaggio della quantità in qualità, la quantità non scompare ma acquista un significato qualitativo. Ad esempio, nell'esempio di transizione di fase, la qualitativamente differenti stati di liquidi e gas sono ancora differenziati l'uno dall'altro tramite l' variabile comportamentale quantitativa, densità. Ci sono due tipi distinguibili di dialettica, uno che si traduce in vittoria di uno dei forze opposte, ed una seconda che dà luogo a un compromesso o di sintesi. Entrambi questi concezioni sono state sostenuta da interpreti della dialettica. Sebbene le differenze tra queste concezioni hanno avuto gravi ripercussioni politiche nella storia del partito comunista, 10 essi non sembrano essere stati distintamente articolata, o per lo meno non hanno guadagnato l'accettazione generale tra scrittori di dialettica. Qui la teoria delle catastrofi offre la possibilità di qualche chiarimento. Alcuni fenomeni dialettici sono meglio modellati con la cuspide, altri sono più adeguatamente colte con la farfalla. (Senza dubbio, alcuni possono chiamare per altri tipi di catastrofi.) Considerando che la cuspide è opportuno conflitto in cui entrambi i lati uno o l'altro deve essere dominante, mentre la farfalla consente la possibilità di compromesso o di riconciliazione, il cui rilascio concettualizzazione è quella appropriata per qualche fenomeno sociale concreto non è del tutto accademico. Purtroppo la teoria di Thom non offre alcun conto, o almeno una comprensibile per un lettore generale, di come e in quali condizioni è possibile trasformare una cuspide in una farfalla. 5.3. Sintesi e frammentazione A 'farfalla di riconciliazione' può essere illustrato utilizzando l'account di Curle (1972) di fasi di risoluzione dei conflitti, come segue: 'Il rapporto senza pace prototipo è quella di un master e slave, in cui lo schiavo ignora l'enormità la sua posizione e del fatto che potrà mai essere cambiato .... Questa situazione può essere modificato solo da quello che ho ampiamente termine l'educazione, il che implica una certa crescita di consapevolezza della sua posizione nello slave. Una volta che lo schiavo (o gruppo dominata) è consapevole, lui (o esso) si sforza di raggiungere una posizione di parità con il suo padrone (o il gruppo dirigente) in modo che il rapporto può essere riordinato secondo principi di giustizia .. Questa è la fase
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 15 di confronto. Questi due metodi, formazione e confronto, costituiscono ... le fasi rivoluzionarie pace, il cui scopo primario è quello di ridurre lo squilibrio di potere ... Sono seguiti da tre processi che sono più appropriati per eguagliare, piuttosto che parti disuguali in conflitto. Con tecniche di conciliazione , ostiligli individui sono portati al punto in cui essi percepiscono l'un l'altro con meno paura irragionevole e ostilità così può, con qualche speranza di successo, avviare il processo di contrattazione che porta ad una risoluzione della controversia e unarisoluzione del conflitto. Infine vi è una fase di sviluppo in cui l'assenza di ostilità è negativotrasformato in una collaborazione positiva ... [E] la cooperazione. ' Questa sequenza può essere confrontato con la descrizione di Turner della dialettica, citato in precedenza. È rappresentato in figura 5, con qualche alterazione, come una particolare traiettoria sulla farfalla. 11 Le prime fasi sono puramente cuspian, e portare il sistema allo stato di conflitto all'interno della biforcazione impostato. Punto 4 segna l'aspetto della possibilità di compromesso, con l'emergere di piccole valori positivi per il fattore di farfalla, ma il compromesso non è attualmente raggiungibile, poiché l' punto di controllo è in una regione avente solo il due minimi cuspide. Nella fase successiva (punto 5), tutti e tre stati sono disponibili, e con transizione alla regione tasca interna (punto 6), la sintesi viene effettivamente realizzato. In fase di sviluppo, il rischio di perdita catastrofica di accordo è diminuito, e una serie continua di comportamento cooperativo diventa possibile. Tuttavia, fintanto la singolarità topologica, e la sua morfologia farfalla associata, in realtà non scompaiono, vi è sempre la possibilità di regresso - o ad uno stato di difficile compromesso o per l' effettiva ripresa del conflitto. Infatti, è possibile che il processo venga eseguito in retromarcia. Una sintesi creativa (gli interessi dei parti contendenti, di idee o di valori), che soffre di una distorsione del fattore di bilanciamento o di un indebolimento del fattore frammento integrazione maggio in opposti non riconciliati, uno o l'altro di cui alla fine guadagna una posizione dominante. Figura 5. Risoluzione dei conflitti interpretata sulla farfalla (a) le fasi rivoluzionarie. (B) Le relazioni tra pari. Gli fasi rivoluzionarie sono mostrati in termini di un cambiamento relativo equilibrio di fattori contrastanti, che rappresenta la forza e / o vantaggio dei gruppi oppressi e oppressori. Questa situazione cuspian si trasforma in punto 4 ad una vera farfalla come il fattore farfalla assume valori positivi (effettivamente non indicati in figura.) L' traiettoria continua a mettere in scena 7 con ulteriori variazioni dei fattori di conflitto e la farfalla. Vedere la Sezione 5.3 e Nota 11 per ulteriori discussioni.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 16 6. Conclusioni Ricapitolando, le leggi dialettiche classici possono essere interpretati utilizzando le catastrofi elementari noto come la cuspide e farfalla. In termini di cuspide, la prima legge è illustrato in divergenza e salti discontinui, la seconda legge, nel bimodalità della superficie di comportamento, i fattori di controllo in conflitto, e le variazioni della funzione di energia come il set di biforcazione è attraversato. La terza legge, e la triade di tesi / antitesi / sintesi, è esposta sia nella tre superfici di due cuspidi concatenati, o nei tre regioni distinte nel piano di controllo di un singola cuspide. Un particolare traiettoria del punto di controllo illustra la concezione dialettico che sviluppo dà luogo a contraddizioni all'interno di un sistema, che portano alla sua trasformazione. Nella farfalla, divergenza e discontinuo salti avvengono tra tre, anziché due, minimi. La lotta degli opposti non è più assoluta. La negazione della negazione e la triade dialettica può riferirsi sia alle variabili di effetto oi parametri causali, vale a dire sia i tre equilibrio regioni della superficie comportamento o le due variabili contrastanti, più l'azione combinata di polarizzazione e fattori di farfalla. Un particolare movimento del punto di controllo illustra il processo dialettico attraverso che i conflitti possono essere risolti. Sia la cuspide e la farfalla possono visualizzare non solo la evoluzione dei sistemi, ma la loro involuzione, non solo lo sviluppo progressivo e la liberazione, ma anche degenerazione e irrigidimento. Dovrebbe essere chiaro che l'uso qualitativo della catastrofe teoria, come la dialettica, dipende ampiamente sulle opinioni ei valori del ricercatore. Dal punto di vista della teoria delle catastrofi, sia il rifiuto completo della dialettica come vago o metafisico, e le pretese di universalità fatte per suo conto da comunista ufficiale filosofia, sono infondate. Una visione più accurata sarebbe che la dialettica e la catastrofe teoria sono modi di indagine e di esposizione. Essi forniscono modelli generali di processo e sono 'Sistemi' quadri. 12 Sono applicabili ad una varietà di fenomeni, ma non sono quasi completa o universale. Inoltre, devono essere integrate da una conoscenza concreta dei fenomeni descritto, altrimenti davvero dissipano in voli pindarici o irrigidire in dogma. Il presente lavoro spazia su una vasta gamma di argomenti ed è necessariamente breve. Molti dei argomenti toccati, devono (e possono) essere un trattamento più piena, e questo saranno intraprese in documenti successivi. Sarebbe di interesse, in termini di punto di vista attuale, per esaminare sistematicamente - e tentare una classificazione tassonomica - interpretazioni diverse e esempi di dialettica nella sua voluminosa letteratura. L'affinità filosofica tra teoria delle catastrofi e la dialettica potrebbero essere esplorate più a fondo. Avversione di Thom verso il Newtoniano visione del mondo che sottolinea la continuità delle equazioni differenziali e la riducibilità dei fenomeni è vicino in spirito al rifiuto della dialettica 'meccanicistica' materialismo. L'uso di modelli di teoria delle catastrofi nelle scienze sociali è solo all'inizio, e qui l'interazione con la ricca letteratura marxista potrebbe essere stimolante per entrambi. Una possibile quantitativa applicazione potrebbe essere il prolungamento della discussione di Zeeman delle stock cicli di mercato (1977) a cicli economici in generale. La maggior parte dei usi della teoria di Thom saranno, comunque, rimangono qualitativo o addirittura solo simbolico o evocativo, ma fino a quando una priori validità non sia chiesto per tali analisi sulbase di prove topologici di Thom, teoria delle catastrofi sarà più illuminante fuorviante. Se l'uso veramente quantitativa e rigorosa della teoria è possibile nel sociale scienze, solo il tempo potrà dirlo.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 17 In chiusura, si deve riconoscere che la dialettica e la teoria della catastrofe si sovrappongono solo in parte. Teoria della catastrofe difficilmente si trova nel bisogno di legittimazione o di interpretazione dialettica, e un grande affare, probabilmente gli aspetti più socialmente rilevanti, e anche il più sottile, di dialettica non può essere racchiuso all'interno (o anche illuminato da) qualsiasi teoria matematica formale. Ancora, vi è un profonda connessione tra questi due modi di pensare. In un'epoca inondato dalla sempre crescente conoscenza su aspetti sempre più minuti della realtà, si dovrebbe essere grati, e tollerare il limitazioni, quelle forme di pensiero che sono molto generale, e che, avendo la capacità di illuminare l'esperienza individuale e sociale, può diventare anche personalmente significativo. Note 1. Thom (1975) è l'autore della teoria, ma i suoi scritti sono meno accessibile per i non-matematico rispetto alla lavoro del suo principale 'discepolo', Zeeman (1976, 1977). libro di quest'ultimo contiene una serie di applicazioni, in vari livelli di difficoltà matematica, alle scienze fisiche, biologiche e sociali, e anche una bibliografia corrente. 2. Questo documento si basa su di una serie di riferimenti primari e secondari sui principi dialettici (Cornforth, 1975; Engels, 1970, 1973; Graham, 1971; Hegel, 1951; Kursanov, 1967; Marcuse, 1960; McGill e Parry, 1948; Stalin, 1940, Venable, 1966; Wetter, 1958), ma è purtroppo assolutamente oltre la sua portata a raccogliere la divergenze interpretative tra queste fonti. L'autore ha fatto largo uso (specialmente nella sezione 3) del saggio di Cornforth, che è una breve, chiaro, e 'ortodosso' presentazione marxista, e quello in cui le somiglianze di dialetti alla teoria delle catastrofi sono sorprendentemente manifesto. 3. La parola 'catastrofe' in questo lavoro è quasi sempre usato come un termine tecnico. È il nome che ha dato Thom alla sua teoria topologica, e ai sette forme archetipiche che esso racchiude. Il significato comune del parola, a significare qualcosa di disastroso, non dovrebbe in generale essere dedotta, anche se a volte può essere appropriato. Né deve il termine può essere associata a una particolare posizione ideologica che si è tenuta nel storia intellettuale / politico della dialettica. 4. All'interno ufficiale sovietica e la filosofia orientale europeo, la dialettica e il materialismo sono, naturalmente, sposata insieme, ma solo dialettica saranno considerati in questo documento. 5. In senso stretto, il 'controllo' e variabili "comportamento" può avere un rapporto di reciprocità che parte da che di semplice causa ed effetto. 6. Tecnicamente, il set biforcazione si intende l'estremità a cuspide, che è il luogo dei punti sul controllo aereo a cui possono verificarsi cambiamenti improvvisi nella variabile comportamento. Tuttavia, questo termine è usato anche più genericamente per denotare la regione all'interno di questo limite. 7. Alcuni dettagli matematici: la funzione energia ha la forma: V = x 4 / 4 - ax 2 / 2 + bx, e la Figura 1b trame V rispetto x per la sequenza dei valori del parametro, b, corrispondenti al percorso indicato per il punto di controllo (l'altro parametro è mantenuta costante). Il tasso di variazione della variabile comportamentale è assunto a variare con il gradiente di V, e quindi la superficie comportamento è data dall'equazione di equilibrio: - ? dx / dt = du / dx = 0 = x 3 -Ax + b dove e è piccolo. Nel limite di e ? 0, tornare in superficie comportamento dopo qualche spostamento da esso, come ad esempio si verifica in salti catastrofe, è istantanea. Il moto del punto di controllo sarà tipicamente essere specificato equazioni della forma:
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 18 da / dt = f (x, a, b) db / dt = g (x, a, b) Questi non sono fornite dalla teoria, ma devono essere determinati per ogni fenomeno da modellare. 8. Questo illustra le "categorie" dialettici di 'possibilità' e 'realtà'. Interpretazioni delle cuspidi possono essere dati ai altre coppie Categoria: 'Essenza e apparenza' potrebbero essere illustrate dalla distinzione tra il controllo e il comportamento variabili. 'Necessità e contingenza' si riflettono nella struttura topologica di fondo della superficie cuspide, che è fissato, in contrasto con alcune distorsioni geometriche che sono ammessi, o in effetti casuali su una movimento altrimenti deterministica del punto di controllo, che rendono il momento della catastrofe imprevedibile, o causare divergenza. 9. Questa è la classica codifica di Stalin (1940). La dialettica può essere un potente strumento per la sottile critica sociale, ma questo non esclude la sua cristallizzazione in dogma o dell'uso ornamentale per legittimare un ordine totalitario. 10. Deborin, per esempio, è stato attaccato in parte per aver sostenuto la riconciliazione degli opposti; Bucharin aveva anche una tale visione (Wetter, 1958). 11. I primi due parametri di controllo sono scelti come fattori contrastanti, che rappresentano i punti di forza della dominante e gruppi dominati. E 'più difficile suggerire la natura dei fattori di polarizzazione e farfalla, ma essi riferiscono forse a tutto ciò esistono forze che servono la causa della giustizia, e per quei punti in comune, più profondo della lotta palese, che si legano insieme i contendenti. 12. L'affinità più generale che esiste tra il marxismo e la teoria dei sistemi è in arrivo ad essere sempre più riconosciuto, (ad esempio Amburgey e McQuarie, 1977; Kirschenmann 1970; Merrill, 1977; Wallerstein, 1974). Vorrei ringraziare Tom LaBerge per l'assistenza editoriale e di formazione dei dati. Riferimenti Amburgey, T. e D. McQuarie, 'Sistema modifica nel modello di Karl Marx di socio-economico Formazione. ' Generale Sistemi 22, 99-1031 1977Cornforth, M., Il materialismo e il metodo dialettico , New York: Internazionale, 1975.Curle, A., I mistici e militanti , London: Tavistock, 1972.Desan, W., Il marxismo di Jean-Paul Sartre , Garden City: Doubleday, 1965.Dodson, MM, 'la legge della selezione naturale e Teoria delle Catastrofi di Thom di Darwin.' Mathematical Biosciences 28, 243-274, 1976.Engels, F., Anti-Duhring , New York: Internazionale, 1970.Engels, F., Dialettica della natura , New York: Internazionale, 1973.Engels, F., Ludwig Feuerbach , New York: Internazionale, 1941.Engels, F., Il socialismo : dall'utopia alla scienza. Marx ed Engels, Opere scelte, a New York:Internazionale, 1968. Fowler, DH, 'La Catastrofe Reimann-Hugoniot e la Van der Waals' in CH Waddington (a cura di), Verso una biologia teorica , vol. 4, Chicago: Aldine-Atherton, 1-7, 1972.Graham, LR, Scienza e Filosofia in Unione Sovietica , New York: Vintage, 1971.
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Dialettica e la catastrofe Martin Zwick 19 Hegel, GWF, Scienza della logica , WH Johnston, e LG Struthers (trad.). New York: Macmillan, 1951. Kirschenmann, PP, di informazione e di riflessione , New York: Humanities, 1970.Kursanov, G., Fondamenti di materialismo dialettico , Mosca: Progresso, 1967.Marcuse, H., Ragione e Rivoluzione , Boston: Beacon, 1960.Marx, K., A Per la critica dell'economia politica , Chicago: Kerr, 1904.Marx, K., Capitale , vol. 1-3, New York: Internazionale, 1967.Marx, K. e F. Engels, L'ideologia tedesca , New York: Internazionale, 1947.Marx, K. e F. Engels, Manifesto del partito comunista in Marx ed Engels, selezionati Opere , New York: Internazionale, 1968.McGill, VU e WT Parry, 'l'unità degli opposti: un principio dialettico.' S scienze e Society 12, 418-444, 1948.Merrill, J., il marxismo e la Teoria dei Sistemi: una nuova convergenza intellettuale '? inedito manoscritto, 25 marzo 1977. Sartre, J. P ., Critica della ragione dialettica , A. Sheridan-Smith (trad.). Honolulu: Università diHawaii, 1977. Schulman, LS e M. Revzen, transizioni di fase come Catastrofi. ' fenomeni collettivi 1,43-47, 1972. Stalin, J., Materialismo dialettico e storico , New York: Internazionale, 1940.Thom, R., Stabilità strutturale e morfogenesi , Lettura: Benjamin, 1975.Turner, JH, La struttura della teoria sociologica , Homewood: Dorsey, 1974.Venable, V., Human Nature , The marxiano Mew, Cleveland: Meridian, 1966.Waddington, CH, 'Una teoria delle catastrofi di Evolution.' Annali della New York Academy of Scienze 231, 32-42, 1974.Wallerstein, I., Il sistema mondiale moderno , New York: Academic, 1974.Wetter, GA, materialismo dialettico , Westport: Greenwood, 1958.Zeeman, CE, 'teoria delle catastrofi', Scientific American (aprile): 65-83, 1976.Zeeman, CE, Catastrophe Theory: Selected Papers 1972-1977, Lettura: Addison-Wesley,

In catastrofi di diffrazione, come l'arcobaleno della natura ondulatoria della luce si risolve singolarità ray e disegna schemi di interferenza delicati. In catastrofi quantistica, come il buco nero della natura quantistica della luce risolve singolarità onda e crea caratteristici effetti quantistici legati alla radiazione di Hawking. Suggerisco che una catastrofe quantistica può essere fatta in laboratorio usando la luce congelata con un profilo parabolico della velocità di gruppo.

Conferenza su catastrofi quantistica

Catastrofi [1] sono al centro di molti affascinanti fenomeni ottici. L'esempio più evidente di una tale catastrofe è l'arcobaleno. I raggi di luce provenienti dal Sole entrano gocce d'acqua galleggianti in aria. Dopo due rifrazioni e una riflessione all'interno di ogni goccia i raggi raggiungono un osservatore. Sopra un angolo di osservazione critica nessun raggi arrivano, mentre sotto l'angolo di due raggi colpiscono l'osservatore. Un arco luminoso, l'arcobaleno, appare l'angolo critico, perché qui la sezione trasversale di raggi di luce diverge [2]. (L'angolo critico dipende dall'indice di rifrazione che varia con la frequenza della luce in mezzi dispersivi quali acqua, dando origine ai colori dell'arcobaleno.) La direzione di un raggio luminoso è proporzionale al gradiente della fase. L'arcobaleno rappresenta quindi una singolarità di una mappa sfumatura, una catastrofe nel senso di Thom [3] e Arnol'd [4]. Singolarità strutturalmente stabili di mappe sfumature rientrano in classi distinte, a seconda del numero di parametri di controllo coinvolti [3,4]. La stabilità strutturale è la chiave del senso della natura di focalizzare la luce [5] nelle caustiche create da catastrofi ray. Eppure la natura ondulatoria della luce leviga le singolarità dure raggi. Allo stesso tempo, effetti di interferenza caratteristici compaiono. Per esempio, le coppie di raggi luminosi sotto l'arcobaleno creano un delicato disegno di archi soprannumerari [1] che sono visibili in condizioni meteorologiche favorevoli (quando le goccioline galleggianti sono quasi uniformi nelle dimensioni [2]). Ogni classe di catastrofi di diffrazione genera la sua struttura di interferenza distinta [1].



Illustrazione descartes 'della formazione dell'arcobaleno: raggi come ABCDE forma l'arco primario e quello secondario FGHIKE.



Il lato luminoso dell'arcobaleno (sotto l'arco principale) mostra un pattern di interferenza delicato.

Ottica catastrofe descrive le proprietà ondulatorie della singolarità ray. Nella gerarchia dei concetti fisici, ottica ondulatoria affina e abbraccia sull'ottica geometrica e ottica quantistica regole di cui sopra ottica ondulatoria. Allora, che cosa sarebbe gli effetti quantistici di catastrofi onda [6]? In primo luogo, quali sono le catastrofi quantistica? Potrebbe essere una buona idea per iniziare con un esempio, il buco nero [7]. Quando una stella collassa in un buco nero di un orizzonte degli eventi è formato, taglio di spazio in due regioni scollegati. Visto da un osservatore esterno, il tempo si ferma l'orizzonte, congelando ogni movimento. Un'onda luce sarebbe congelare pure, moltiplicazione con sempre più piccola lunghezza d'onda. [In termini matematici [8], un onda di luce monocromatica di frequenza $ \ omega $ oscilla come $ \ Theta (r-r_s) (r-r_s) ^ {i \ mu} $ quando il raggio $ r $ avvicina l'orizzonte $ r_s $, con $ \ mu = 2r_s \, \ omega / c $]. Una singolarità fase logaritmica si svilupperà. Potenziali effetti quantistici di una tale singolarità onda sono effetti del vuoto quantistico. Il collasso gravitazionale [7] della stella nel buco nero ha trascinato il vuoto. Il vuoto condivide così il destino di un osservatore in caduta verso l'interno. Eppure un simile osservatore non noterebbe nulla di strano all'orizzonte degli eventi. In termini matematici, le modalità vuoto sono analitico attraverso l'orizzonte [8,9]. D'altra parte, i modi percepite da un osservatore esterno sono essenzialmente non-analitica, perché svaniscono oltre l'orizzonte dove l'osservatore non ha accesso. Conseguentemente, l'osservatore non vede il campo elettromagnetico nella condizione di vuoto. Invece, l'osservatore si accorge i quanti di radiazione di Hawking [10], con uno spettro di Planck. Il vuoto quantistico non assume onde catastrofiche, quindi risolvendo così la singolarità onda associati e, contemporaneamente, generando radiazione quantistica con uno spettro caratteristico. Al centro di tale catastrofe giace un processo dipendente dal tempo, per esempio il collasso gravitazionale nel caso del buco nero [7]. Il processo ha disconnesso le regioni spaziali dove onde possono propagarsi e ha creato una singolarità fase logaritmica all'interfaccia. Ogni fenomeno dipendente dal tempo genererà alcune radiazioni, finché il processo dura. In notevole contrasto, una catastrofe quantistico crea quanti di continuo.



Diagramma schematico di onde vicino all'orizzonte degli eventi di un buco nero, visto da un osservatore esterno. La lunghezza d'onda riduce proporzionalmente alla distanza radiale dal orizzonte degli eventi.

Vi propongo un esperimento [11] che potrebbe dimostrare un analogo ottico di effetto di Hawking in laboratorio. L'esperimento si basa sulla trasparenza elettromagneticamente indotta (EIT) [12]. In EIT un fascio di controllo determina le proprietà di polaritoni slow-luce in un mezzo adatto. In particolare, la velocità di gruppo della luce lenta è inversamente proporzionale all'intensità della luce controllo. La luce può essere notevolmente rallentata o bloccata del tutto [13]. Propongo il seguente scenario: in primo luogo, illuminare uniformemente il medium IET con luce di controllo, quindi modificare l'intensità del controllo a un profilo parabolico, creando s catastrofe lento-luce. A sua volta, il campo polaritone propone di esaurire il fascio di controllo, in un tentativo di modificare il profilo di intensità che ha causato la catastrofe onda in primo luogo, ma invano. Il raggio di controllo riempie continuamente il profilo di intensità parabolico, alla guida di una produzione stazionaria di coppie polaritoni. I due polaritoni di ogni coppia sono creati su lati opposti vicino all'orizzonte, partono a passo di lumaca, accelerare gradualmente ed emergono come fotoni rilevabili. La radiazione di Hawking di un buco nero [10] segue un simile scenario [8]. Qui il collasso gravitazionale [7] ha innescato una catastrofe quantistica all'orizzonte degli eventi, causando la creazione di coppia che dura fino a quando il foro possiede energia gravitazionale [8,10]. Una particella di ogni coppia cade nel buco nero, mentre le altre fughe nello spazio e appare come radiazione termica [10]. Nel caso ottico [11], e in contrasto con fori gravitazionali, si può esplorare l'altro lato oltre l'orizzonte e, per esempio, misurare le correlazioni delle coppie di fotoni generati. Entrambi i casi sono innescati da eventi catastrofici con conseguenze durature.



Schema dell'esperimento proposto. Un fascio di luce di controllo con I_C intensità genera trasparenza elettromagneticamente indotta in un mezzo, modificando fortemente le proprietà ottiche di un secondo campo di luce lenta. Quando un controllo intensità inizialmente uniforme viene trasformato nel profilo parabolico illustrato in figura, il campo lento luce subisce una catastrofe quantistico. Alle onde luminose lento, l'interfaccia di Z intensità zero controllo taglia spazio in due regioni disconnesse e crea una singolarità fase logaritmica, in analogia con l'effetto di un orizzonte degli eventi. Il vuoto quantistico della luce lenta non può assumere tali onde catastrofiche. A sua volta, coppie di quanti di luce lenta, si propagano in direzioni opposte lontano da Z, sono emessi con uno spettro caratteristico.

La radiazione quantistica di una catastrofe lenta luce assomiglia radiazione di Hawking ma presenta anche alcune differenze interessanti. Lo spettro emesso non è di Planck, mentre un buco nero appare come un radiatore di corpo nero. Le differenze tra i due spettri sono riconducibili a due diverse classi di catastrofi onda. In entrambi i casi, le onde oscillano a un orizzonte nella forma z ^ p, ma gli esponenti p sono differenti in modo caratteristico, vedere la tabella. Si noti che l'effetto di Unruh [9] di radiazione visto da un osservatore accelerato è di Hawking classe e [8] e così sono la maggior parte dei buchi neri artificiali proposti [14] Sorprendentemente, produzione di coppie di Schwinger di particelle cariche in campi elettrostatici [15 ] è accompagnato da una catastrofe onda sottile di tipo diverso e porta ad uno spettro Boltzmannian, vedere la tabella. Potrebbe essere interessante scoprire se possono verificarsi più di tre tipi di catastrofi quantistica.



In ogni tipo di catastrofe quantistica un'onda sviluppa una singolarità con un esponente caratteristico. La fisica quantistica risolve la singolarità, e produce coppie di particelle con uno spettro caratteristico (numero medio di particelle).

Riferimenti

MV Berry e C. Upstill, Prog. Ottiche 28, 257 (1980).
HM Nussenzveig, effetti di diffrazione a Scattering Semiclassical (Cambridge University Press, Cambridge, 1992).
R. Thom, Stabilità strutturale e morfogenesi (Benjamin, Reading, 1975).
VI Arnol'd, Uspekhi Mat. Nauk 30, 3 (1975) [Math russo. Indagini 30, 1 (1975)].
JF Nye, concentrandosi naturali e raffinata struttura di Luce (Istituto di Fisica, Bristol, 1999).
MV Berry, raggi, fronti d'onda e fase: un libro illustrato di cuspidi, in Huygen 'Principio 1690-1990: Teoria e applicazioni a cura di H. Blok, HA Frewerda, e HK Kuiken (Elsevier, Amsterdam, 1992); MV Berry, SPIE 3487, 1 (1998).
Ch. W. Misner, KS Thorne, e JA Wheeler, Gravitation (Freeman, New York, 1999).
R. Brout, S. Massar, R. Parentani, e Ph. Spindel, Phys. Rep. 260, 329 (1995).

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Montaggio della catastrofe a cuspide in R: A cuspide-Package Primer. Raoul PPP Grasman Universiteit van Amsterdam Han LJ van der Maas Universiteit van Amsterdam Eric-Jan Wagenmakers Universiteit van Amsterdam Estratto Questa vignetta per il pacchetto cuspide per R è una versione modificata di ( Grasman, van der Maas, e Wagenmakers 2009 ), Pubblicato sul Journal of Statistical Software. Dei sette catastrofi elementari di teoria delle catastrofi, il modello "cuspide" è il più ampiamente applicata. La maggior parte delle applicazioni sono comunque qualitativo. Tecniche quantitative per la modellazione di catastrofe sono stati sviluppati, ma finora la limitata disponibilità di flessibilità software ha ostacolato la valutazione quantitativa. Vi presentiamo un pacchetto che implementa ed estende il metodo di ( Cobb e Watson 1980 ; Cobb, Koppstein, e Chen 1983 ), e lo rende facile da montare quantitativamente e confrontare diversi modelli di catastrofe a cuspide in modo statisticamente di principio. Dopo una breve introduzione alla catastrofe a cuspide, ci dimostrare il pacchetto con due esempi istruttivi. Parole chiave: teoria delle catastrofi, cuspide, la modellazione. Studi di teoria delle catastrofi cambiamenti qualitativi nel comportamento dei sistemi sotto liscio graduale cambiamenti di fattori di controllo che determinano il loro stato comportamentale. In tal modo, la catastrofe La teoria è stata in grado di spiegare, ad esempio, come bruschi cambiamenti improvvisi di comportamento possono provocare da piccoli cambiamenti nei fattori di controllo, e perché tali cambiamenti si verificano a controllo diverso fattore configurazioni a seconda degli stati passati del sistema. In particolare, la catastrofe teoria prevede tutti i tipi di cambiamenti comportamentali qualitativi che possono verificarsi nella classe di cosiddetti sistemi a gradiente, sotto l'influenza dei cambiamenti graduali in fattori di controllo ( Poston e Stewart 1996 ). Teoria delle catastrofi è stato reso popolare nel 1970 ( Thom 1973 , Thom e Fowler 1975 ; Gilmore 1993 ), Ed è stato suggerito come strategia per la modellazione in varie discipline, come la fisica, la biologia, la psicologia e l'economia, da Zeeman ( 1971 come citato in Stewart e Peregoy 1983 ; Zeeman 1973 , 1974; Isnard e Zeeman 1976 ; Poston e Stewart 1996 ). Sebbene CATAS- teoria trophe è ben consolidata e applicata nel campo delle scienze fisiche, le sue applicazioni nel scienze biologiche, e in particolare nel campo delle scienze sociali e del comportamento, è stato criticato ( Sussmann e Zahler 1978 ; Rosser 2007 ). Applicazioni in questi ultimi settori variano da modello- zione dei tassi di mercato si blocca in economia ( Zeeman 1974 ), Alla percezione di figure bistabili ( Stewart e Peregoy 1983 ; Ta'eed, Ta'eed, e Wright 1988 ; Furstenau 2006 ) In psicologia. I principali punti di critica riguarda la metodologia eccessivamente qualitativa utilizzato in appli- cationi in questi ultimi scienze, così come la natura ad hoc della scelta delle variabili utilizzate come variabili di controllo. Il primo di questi sembra derivare dal fatto che la teoria delle catastrofi interessati sistemi dinamici deterministici, mentre le applicazioni nelle scienze queste riguardano dati che sono più propriamente considerati stocastico. Per una sintesi storica del sviluppi e le critiche della teoria delle catastrofi rimandiamo il lettore a Rosser ( 2007 ).
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2 Il pacchetto cuspide per R Formulazioni stocastici della teoria delle catastrofi sono stati trovati, e metodi statistici hanno stati sviluppati che consentono confronto quantitativo dei modelli catastrofali con i dati ( Cobb e Ragade 1978 ; Cobb e Watson 1980 ; Cobb 1981 ; Cobb et al. 1983 ; Guastello 1982 ; Oliva, Desarbo, Giorno, e Jedidi 1987 , Lange, Oliva, e McDade 2000 , Wagenmakers, Molenaar, Grasman, Hartelman, e van der Maas 2005a ; Guastello 1992 ). Di questi metodi, la approccio di massima verosimiglianza di Cobb e Watson ( 1980) ; Cobb et al. ( 1983 ) È probabilmente più attraente per ragioni che discuteremo in Appendice A . In questo articolo presentiamo un pacchetto add-on per l'ambiente di calcolo statistico R ( R Development Core Team 2009 ) Che implementa il metodo di ( Cobb et al. 1983 ), E la estende in un numero di modi. In particolare, l'approccio di Oliva et al. ( 1987 ) È adottato per consentire una variabile comportamentale che è incorporato in uno spazio di risposta multivariata. Inoltre, l'attuazione incorpora molti dei suggerimenti di Hartelman ( 1997 ), E in effetti intende avere successo e aggiornare il "cuspfit" programma FORTRAN di quell'autore. Il pacchetto è disponibile presso la Rete Completa Archive R a http://CRAN.R-project.org/ package = cuspide 1. Cuspide catastrofe Si consideri un sistema dinamico (deterministico) che obbedisce equazioni del moto del modulo ? y ? t = - ? V (y; c) ? y , y ? R k , C ? R p . (1) In questa equazione y (t) rappresenta variabile di stato del sistema (s), e c rappresenta uno o più (Controllo) parametro (s) il cui valore (s) determinare la struttura specifica del sistema. Se l' stato sistema y è in un punto dove ? V (y; c) / dx = 0 il sistema è in equilibrio. Se l' sistema è a un punto di non equilibrio, il sistema si sposta verso un punto di equilibrio dove la funzione V (y; c) acquisisce un minimo rispetto a y. Questi punti di equilibrio sono punti di equilibrio stabile, perché il sistema tornerà a tal punto, dopo un piccolo perturbazione dello stato del sistema. Punti di equilibrio corrispondenti a massimi di V (y, c) sono punti di equilibrio instabile causa una perturbazione dello stato del sistema causerà l' Sistema di allontanarsi dal punto di equilibrio verso un punto di equilibrio stabile. In il mondo fisico nessun sistema è completamente isolato e ci sono sempre forze che influiscono su un sistema. È quindi altamente improbabile incontrare un sistema in un equilibrio instabile stato. Punti di equilibrio che non rispondono ai massimi né minimi di V (y, c), a che la matrice Hessiana (? 2 V (y) / ? y i ? y j ) Ha autovalori pari a zero, sono chiamati degeneri punti di equilibrio, e questi sono i punti in cui un sistema può far sorgere imprevisti biforcazioni nel suo equilibrio membri quando le variabili di controllo del sistema vengono modificati. 1.1. Forma canonica Teoria delle catastrofi ( Thom 1973 ; Thom e Fowler 1975 , Gilmore 1993 ; Poston e Stewart 1996 ) Classifica il comportamento dei sistemi dinamici deterministici nel quartiere di de- generare punti critici della funzione potenziale V (y, c). Uno dei notevoli risultati teoria delle catastrofi è la sua scoperta che degeneri punti di equilibrio dei sistemi della forma descritto in precedenza, che hanno un numero arbitrario di variabili di stato e sono controllati da nessun più di quattro variabili di controllo, può essere caratterizzato da un insieme di soli sette forme canoniche,
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 3 o "svolgimenti universali", in solo una o due variabili di stato canonico. Questi universale non- piegature sono chiamate le "catastrofi elementari". Le variabili di stato sono ottenuti canoniche da trasformazioni lisce delle variabili di stato originali. Le catastrofi elementari con- costituiscono le diverse famiglie di modelli catastrofali. Nelle scienze biologiche e comportamentali, il cosiddetto modello di catastrofe a cuspide è stato applicato più frequentemente, in quanto è il più semplice dei modelli catastrofe che esibisce discontinuo transizioni a stati di equilibrio come parametri di controllo sono molteplici. La forma canonica della funzione potenziale per la catastrofe a cuspide è -V (y, a, ß) = ay + 1 2 ß y 2 - 1 4 y 4 . (2) Suoi punti di equilibrio, in funzione dei parametri di controllo a e ß, sono soluzioni per l' equazione a + ß y - y 3 = 0. (3) Questa equazione ha una soluzione, se d = 27a - 4ß 3 , Che è conosciuto come discriminante di Cardano, è maggiori di zero, e ha tre soluzioni se d <0. Queste soluzioni sono descritte nella Figura 1 come una superficie bidimensionale vivono nello spazio tridimensionale, il cui pavimento è il due sistema di coordinate tridimensionale (a, ß), chiamato il "piano di controllo". L'insieme dei valori di a e ß per cui d = 0 delimita il set di biforcazione, la croce tratteggiata cuspide a forma di regione sul pavimento in Figura 1 . Da una prospettiva di regressione, la superficie equilibrio cuspide può essere concepito di come superficie di risposta, la cui altezza predice il valore della variabile dipendente y dato i valori delle variabili di controllo. Questa superficie di risposta ha la proprietà peculiare però, che per alcuni valori delle variabili di controllo a e ß della superficie prevede due valori possibili invece di una. Inoltre, questa superficie risposta ha la caratteristica inusuale che "anti- prevede "un valore intermedio di questi valori delle variabili di controllo, cioè la superficie prevede che lo stato di determinati valori, vale a dire. instabili stati di equilibrio, non dovrebbe verificarsi ( Cobb 1980 ). Come indicato, la variabile dipendente y non è necessariamente una quantità osservato che caratterizza il sistema studiato, ma in realtà è una variabile canonica che in generale dipende da una serie di variabili dipendenti effettivamente misurabili. Analogamente, il controllo coordinate a e ß rappresentano le coordinate canoniche che dipendono reale misurata o controllate variabili indipendenti. La coordinata a è chiamato il "normale" o "asimmetria" coordinare, mentre la coordinata ß è chiamata la "biforcazione" o coordinate "splitting" ( Stewart e Peregoy 1983 ). 1.2. Cuspide catastrofe come modello Nel valutare la cuspide come modello per i dati ci sono due approcci complementari. Gli primo approccio valuta se si verificano determinati fenomeni qualitativi nel sistema sotto considerazione. Nel secondo approccio, una cuspide parametri viene montato sui dati. Gilmore ( 1993 ) Derivato un certo numero di caratteristiche comportamentali qualitative del modello cuspide; le cosiddette bandiere catastrofe. Tra i più importanti sono salti improvvisi nel valore di i (canoniche) variabili di stato; isteresi-cioè memoria per il percorso attraverso lo spazio di fase del sistema; e multi-modalità-cioè, la simultanea presenza di molteplici preferito Stati. Verifica della presenza di questi flag costituisce una fase importante nel raccogliere evidenza per la presenza di una catastrofe cuspide nel sistema in esame. Per la vasta discussioni di queste bandiere qualitativi ci riferiamo a Gilmore ( 1993 ) (Vedi anche Stewart e Peregoy 1983; van der Maas e Molenaar 1992 ; van der Maas, Kolstein, e van der Pligt 2003 ).
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4 Il pacchetto cuspide per R alfa beta stati di equilibrio Cuspide Equilibrium Surface Figura 1: Superficie di cuspide.
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 5 La maggior parte delle applicazioni della teoria delle catastrofi in generale, e la catastrofe a cuspide, in particolare, si sono concentrati interamente su questa verifica qualitativa. Un approccio alternativo è costituito da una valutazione quantitativa di un incontro effettivo tra un modello di catastrofe a cuspide e il dati avviene con procedure di montaggio statistici. Ciò è indispensabile per verificare che un suono cuspide catastrofe fa un lavoro migliore di descrivere i dati rispetto ad altri modelli possibili per i dati. Una difficoltà che si verifica quando la costruzione di modelli catastrofali empiricamente verificabili è il fatto che la teoria catastrofe applica a sistemi deterministici come descritto dall'equazione ( 1 ). Essere intrinsecamente deterministica, la teoria della catastrofe non può essere applicato direttamente su sistemi che sono soggetta a influenze casuali che è comunemente il caso di sistemi fisici reali, in particolare nelle scienze biologiche e comportamentali. Per colmare il divario tra il determinismo della teoria delle catastrofi e di applicazioni in stocastica ambienti, Loren Cobb ei suoi colleghi ( Cobb e Ragade 1978 ; Cobb 1980 ; Cobb e Watson 1980 ; Cobb e Zacks 1985 ) Ha proposto di trasformare la teoria delle catastrofi in un stocastico teoria delle catastrofi aggiungendo all'equazione ( 1 ) A (rumore bianco) processo di Wiener, dW (t), con varianza s 2 , E trattare l'equazione risultante come equazione differenziale stocastica (SDE): dY = ? V (Y, a, ß) ? Y dt + dW (t). Questo SDE viene poi associata una densità di probabilità che descrive la distribuzione del gli stati del sistema sul qualsiasi momento nel tempo, che può essere espresso come f (y) = ? s 2 exp [? (y - ?) + 1 2 ß (y - ?) 2 - 1 4 (Y - ?) 4 s 2 ] . (4) Qui ? è una costante di normalizzazione, e ? semplicemente determina l'origine della scala dello stato variabile. In questo contesto stocastico ß è chiamato il fattore di biforcazione, poiché determina il numero di modalità della funzione di densità, mentre a è chiamata "asimmetria" fattore in quanto determina la direzione del disallineamento della densità (la densità è simmetrica se a = 0 e diventa sinistra o destra distorta a seconda del segno di a; Cobb 1980 ). La funzione è implementata nella Pacchetto R come descritto di seguito dcusp (). La Figura 2 mostra la densità per diverse regioni il piano di controllo. 2. Metodi di stima Come indicato in precedenza, la variabile di stato y della cuspide è una "variabile canonica". Ciò significa che si tratta di una (generalmente sconosciuto) trasformazione regolare delle variabili reali del sistema statale. Se abbiamo un insieme di misura dipendente variabili Y 1 , Y 2 , ..., Y p , Ad una approssimazione del primo ordine possiamo dire y = w 0 + W 1 Y 1 + W 2 Y 2 + · · · + W p Y p , (5) dove w 0 , W 1 , ..., W p sono i coefficienti del primo ordine un'approssimazione polinomiale alla "Vera" trasformazione liscia. Analogamente, i parametri a e ß sono "variabili canoniche" in il senso che sono (generalmente sconosciuti) trasformazioni lisci di variates reali di controllo. Anche in questo caso a prima approssimazione, per i parametri sperimentali o variabili indipendenti misurate X 1 , ..., X q , Possiamo scrivere a = a 0 + Un 1 X 1 + Un 2 X 2 + Un q X q , (6) ß = b 0 + B 1 X 1 + B 2 X 2 + B q X q . (7)
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6 Il pacchetto cuspide per R -30 -20 -10 0 10 20 30 -20 -10 0 10 20 a ß Figura 2: Forma di densità cuspide in diverse regioni del piano di controllo. Bimodalità della densità si verifica solo nel "set di biforcazione", la cuspide a forma di area ombreggiata del piano di controllo.
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 7 Montaggio del modello di cuspide di dati empirici riduce quindi alla stima dei parametri w 0 , W 1 , ..., w p , Un 0 , ..., Un q , B 0 , ..., B q . Sulla base dell'equazione ( 4 ) E l'equazione differenziale stocastica associata discusso orecchio- lier, Cobb ( 1981 ) E Cobb et al. ( 1983 ) Metodo rispettivamente sviluppato di momenti stimatori e stimatori di massima verosimiglianza. Il metodo della massima verosimiglianza di Cobb ( Cobb e Watson 1980 ; Cobb e Zacks 1985 ) Non è stato comunemente usato comunque. Due importanti ragioni di ciò sono l'instabilità di Cobb Software 's per il montaggio della densità cuspide, e le difficoltà nel suo uso (vedi van der Maas et al. 2003 per una discussione, vedi l'appendice per una discussione altri metodi di stima che sono stati proposti in letteratura). Metodi di Cobb assumono che la variabile di stato è direttamente accessibile alla misura. Come sostenuto da Oliva et al. ( 1987 ), Nelle scienze comportamentali sia dipendenti (stato) nonché variabili indipendenti (controllo) sono più spesso di quanto non costrutti che non possono essere facilmente misurata direttamente. È quindi importante incorporare equazione ( 5 ) In modo che lo stato variabile che aderisce alla catastrofe a cuspide possono essere incorporati nello spazio lineare spanning da un insieme di variabili dipendenti. Nel pacchetto cuspide che descriviamo qui di seguito, si usa il metodo di massima verosimiglianza di Cobb e Watson ( 1980 ), Aumentata con il metodo del raccordo sottospazio (Equazione 5 ) Proposto da ( Oliva et al. 1987 ) 3. Descrizione del pacchetto Il pacchetto cuspide è un pacchetto per la lingua calcolo statistico e l'ambiente: R ( R Development Core Team 2009 ). Il pacchetto contiene una serie di funzioni per uso con la modellazione catastrofe, incluse le funzioni di utilità per generare le osservazioni della cuspide densità, per valutare la densità di cuspide e la funzione di distribuzione cumulativa, per adattarsi alla cuspide catastrofe, per valutare l'adattamento del modello, e per visualizzare i risultati. L'interfaccia utente nucleo funzioni del pacchetto sono elencate nella Tabella 1 . 3.1. Specificazione del modello Come è il modello di raccordo con molte routine R, le routine di montaggio nel pacchetto cuspide consentono all'utente di specificare i modelli in termini di variabili dipendenti e indipendenti in un compatto forma simbolica. Base per la formazione di tali modelli è l'operatore (tilde). Un'espressione del modello di forma y indica che la risposta y è modellato da un predittore lineare che è specificato nel modello. Nel pacchetto cuspide, le variabili dipendenti sono comunque sempre y, a, ß e, in accordo con le equazioni ( 8 - 10 ) Discusso sotto. Formule del modello vengono utilizzati per generare una matrice design appropriato. Va ricordato che R fa un rigoroso distinzione tra i "fattori" e variabili. I primi sono i fattori di design di studio che hanno un numero enumerabile di livelli (per esempio, il livello di istruzione, livello di trattamento, ecc), mentre il primi sono continue variates (ad esempio, l'età, la frequenza cardiaca, il tempo di risposta). Fattori e variates sono (Opportunamente) trattati in modo diverso nella matrice di progettazione costruzione. 3.2. Funzione di costo (funzione di verosimiglianza) Al cuore del pacchetto è la routine che esegue raccordo massima verosimiglianza sti- zione di tutti i parametri nelle equazioni ( 5 - 7 ). Cioè, per le variabili dipendenti osservati
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8 Il pacchetto cuspide per R Nome della funzione Descrizione ed esempio di richiamo cuspide Adatto cuspide catastrofe per i dati. fit <- cuspide (y ~ z, alfa ~ x1 + x2, beta ~ x1 + x2, dati) metodo di sintesi Calcola statistiche sulle stime dei parametri e adattamento del modello (da de- guasto questa funzione confronta il modello cuspide di una regressione lineare modello). Per confronto un modello pseudo-R 2 statistica, AIC e BIC vengono calcolati. summary (fit) Metodo confint Calcola intervalli di confidenza per le stime dei parametri. confint (fit) Metodo vcov Calcola una approssimazione al parametro stimatore di varianza- matrice di covarianza. vcov (fit) Metodo loglik Restituisce il valore ottimizzato della log-verosimiglianza. loglik (fit) Metodo di trama Genera una visualizzazione grafica della forma, compresa la stima posizioni sulla superficie di controllo cuspide per ciascuna osservazione, non- stime di densità parametriche per le diverse aree del controllo sur- viso, e una trama residui. Un esempio è riportato in figura 3 . Gli grafico è completamente personalizzabile. plot (fit) cusp3d Genera una visualizzazione tridimensionale degli equilibri cuspide sur- viso su cui sono visualizzati gli stati stimati. La grafica è completamente personalizzabile. La Figura 5 mostra un esempio. cusp3d (fit) cusp3d.surface Genera una visualizzazione tridimensionale degli equilibri cuspide sur- viso. Figura 1 è stato generato con esso. cusp3d.surface () rcusp Genera un campione casuale dalla distribuzione cuspide. y <- rcusp (n = 100, alfa = -1 / 2, beta = 2) dcusp, pcusp qcusp La densità cuspide, la distribuzione cumulativa e funzioni quantile. dcusp (y = 1.0, alfa = -1 / 2, beta = 2) cusp.logist Adatto a una curva logistica per i dati. È usato in summary.cusp se op- zionale parametro logist = TRUE è specificato per la verifica della presenza di osservazioni nel set biforcazione. fit <- cusp.logist (y ~ z, alfa ~ x1 + x2, beta ~ x1 + x2, dati) Tabella 1: Sintesi, comprese ad esempio le chiamate, della maggior parte delle funzioni importanti nel pacchetto cuspide. A completa descrizione di queste funzioni e altre sono riportate nella documentazione del pacchetto.
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 9 Y i1 , Y i2 , ..., Y ip , E le variabili indipendenti X i1 , X i2 , ..., X iq , Per i soggetti i = 1, ..., n, il distribuzione di y i = W 0 + W 1 Y i1 + W 2 Y i2 + · · · + W p Y ip (8) è modellato dalla densità ( 4 ), Con a ? ? a i , ? ? ? ß i , Dove a i = A 0 + Un 1 X i1 + Un 2 X i2 + · · · + Un q X iq (9) ß i = B 0 + B 1 X i1 + B 2 X i2 + · · · + B q X iq . (10) Se raccogliamo le variabili osservate dipendenti nella n × (p + 1) matrice Y = [1 n | (Y ij )], La variabili indipendenti del × n (q +1) matrice X = [1 n | (X ik )], Dove 1 n è un n-vettore le cui voci tutti uguali 1, e inoltre raccogliere i coefficienti nei vettori w = (w 0 , W 1 , ..., W p ), a = (a 0 , Un 1 , ..., Un q ), E b = (b 0 , B 1 , ..., B q ), Dove indica trasposizione, possiamo scrivere questi equazioni succinto y = Yw, a = Xa, ß = Xb, dove y = (y 1 , ..., Y n ), ? = (a 1 , ..., ? n ), E ß = (ß 1 , ..., ? n ). Pertanto, il negativo log-verosimiglianza per un campione di valori osservati (x i1 , ..., X iq , Y i1 , ..., Y ip ), I = 1, ..., n, è L (a, b, w, Y, X) = n S i = 1 log ? i - n S i = 0 [ a i y i + 1 2 ß i y 2 i - 1 4 y 4 i ] . (11) Notare che rispetto all'equazione ( 4 ), Qui abbiamo assorbito i parametri di posizione e scala ? e s nel coefficienti w 0 , W 1 , ..., W p . Va notato inoltre che vi sia un ambiguità nelle equazioni di cui sopra: I segni del un j e w j possono tutti essere commutato senza che interessano la funzione di log-verosimiglianza negativa valore. Questo è il caso, poiché il quadratica e termini quartiche in y i non determinare il segno di y i (Cioè, y 2 i = (-Y i ) 2 ey 4 i = (-Y i ) 4 ), mentre per il termine lineare a i y i = (-? i ) (-Y i ) Detiene. Così il segno di y i (E quindi, il segno per il w j 'S) può essere attivato senza influenzare il valore di ( 11 ) Se il segno di a i , E quindi i segni del una j 'S, è commutato pure. Le stime di un 1 , ..., Un q , W 1 , ..., W p sono pertanto identificabile fino a un cambiamento di segno. La routine cuspide del pacchetto minimizza L rispetto al parametri w 0 , ..., W p , Un 0 , ..., Un p , B 0 , ..., B q . Il carico computazionale di valutare L è gravato principalmente dal calcolo zione della normalizzazione costanti ? i , Che deve essere effettuata numericamente. A questo fine, usiamo una routine di quadratura adattativa per minimizzare il costo computazionale. Per accelerare l' calcoli sostanzialmente, questo avviene in linked codice C. La velocità è particolarmente importante dal punto di vista dell'esperienza utente, se diversi modelli devono essere provati e confrontati. Internamente, i dati sono standardizzati usando una decomposizione QR. Questo sia per la stabilità dell'algoritmo di stima, così come la gestione predittori collineari nella matrice disegno. Solo i coefficienti per ciascuna dimensione dello spazio colonne della matrice disegno sono stimati. I coefficienti stimati sono legati tornare alle variabili dipendenti attuali. Se il disegno matrice non ha rango pieno di colonna, coefficienti per alcune variabili indipendenti, quelli che sono pienamente spiegato da altri, non sono determinati. Per quale delle variabili indipendenti coefficienti sono stimati in tali casi collineari dipende in parte dalla fine del loro verificarsi nella formula. Si noti che, poiché i modelli per a i S 'e ß i 'S vengono specificati a parte, diverse serie di variabili indipendenti possono calcolare in ognuno, consentendo di realizzare l'analisi dei dati di conferma. Questo è stata considerata una deficienza del metodo di Cobb e Watson ( Stewart e Peregoy
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10 Il pacchetto cuspide per R 1983; Alexander, Herbert, Deshon, e Hanges 1992 ), Anche se questa opzione è presente in Hartelman 'S ( 1997 ) Del programma. 3.3. Algoritmo di ottimizzazione La funzione di log-verosimiglianza negativa è minimizzato utilizzando uno dei built-in di ottimizzazione rou- rebbi di R. Per impostazione predefinita la memoria limitata algoritmo Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno con limiti (L-BFGS-B; Zhu, Byrd, Lu, e Nocedal 1997 ) Viene utilizzato dalla funzione cuspide. Altro metodi forniti da R possono essere utilizzati, ma nella nostra esperienza di L-BFGS-B funziona meglio. Il principale problema è che la densità cuspide decresce rapidamente al di là di precisione numerica per | a |, | ß |> 5, e, quindi, alcune restrizioni di confine sono utili. I confini (sia inferiore e superiore) di default a -10 e 10, che è sufficientemente grande in combinazione con la standardizzazione interna dei dati in Al casi che abbiamo incontrato. Diversi i confini possono essere specificati, ma la nostra esperienza con le applicazioni precedenti del metodo è che i valori di | a | e | ß | raramente superare il 3. 3.4. Punto di partenza I valori di partenza usati per default risultano per rendere spesso convergenza della ottimizzazione algoritmo senza problemi. Quando sorgono problemi di convergenza viene emesso un avviso, e questo può essere interpretata come un invito per l'utente a fornire valori di partenza alternativi. Nel nostro esperienza convergenza ad una corretta minimo della verosimiglianza negativo può essere raggiunto la maggior parte del tempo, fornendo valori iniziali alternativi. Un forte segnale di non corretta la convergenza è un avvertimento circa NaN di che viene rilasciato quando vengono calcolate le statistiche riassuntive. Se questo accade, il modello dovrebbe essere rimontare utilizzando un diverso insieme di valori di partenza. 3.5. Valutazione statistica di adattamento del modello Per valutare la corrispondenza dei dati con le previsioni fatte dalla catastrofe cuspide, un numero di strumenti diagnostici sono state suggerite. Maxwell convenzione contro ritardi e R 2 Prima di tutto, Cobb ( 1998 , Vedi anche Stewart e Peregoy 1983 ; Hartelman 1997 hanno suggerito una pseudo-R 2 come misura della varianza spiegata definito da 1 - Errore di varianza Var (y) . (12) Questo è chiaramente ispirato al rapporto familiare tra il quadrato (multipla) di correlazione coefficiente e la "varianza spiegata" dalla regressione ordinaria. Tuttavia, il termine di errore " varianza "deve essere definito, il che non è banale per il modello di catastrofe a cuspide. Come indicato in precedenza, la catastrofe cuspide non è un modello di regressione ordinaria. Piuttosto, si tratta di un modello di regressione implicita di un tipo irregolare. 1 Come tale, a differenza di regressione ordinaria modelli, per un dato insieme di valori delle variabili indipendenti del modello possono predire multipla valori per la variabile dipendente. In regressione ordinaria il valore previsto è di solito la 1 La catastrofe cuspide è un modello di regressione implicita irregolare, nel senso che le statistiche disponibili teoria per i modelli di regressione impliciti non può essere applicato ai modelli catastrofali ( Hartelman 1997 ).
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 11 valore atteso della variabile dipendente dati i valori delle variabili indipendenti. In il caso della densità cuspide, per certi valori di a e ß la densità cuspide è bimodale, e il valore atteso di questa densità trova in una regione di bassa probabilità tra i due modi. Cioè, la speranza matematica della densità cuspide è un valore che in sé è relativamente improbabile da osservare. Due alternative per il valore atteso come il valore atteso può essere utilizzati, che sono strettamente connessi ad un problema simile per quanto riguarda le convenzioni di interpretazione nella teoria delle catastrofi deterministico: si può scegliere la modalità di densità più vicina al valori di stato come il valore previsto, oppure si può utilizzare la modalità in cui la densità è più alta. Il primo è noto come Convenzione di ritardo, il secondo come la convenzione di Maxwell. Nonostante nelle scienze fisiche entrambi hanno i loro usi, Cobb e Watson ( 1980 , Cobb 1998 ) Suggeriscono di utilizzare la convenzione di ritardo ( Stewart e Peregoy 1983 ). Entrambe le convenzioni sono forniti dal pacchetto, il valore predefinito è la convenzione di ritardo. Quindi, nella pseudo-R 2 statistica sopra definito, la varianza dell'errore è definita come la varianza delle differenze tra le (o stimati) stati osservati e alla moda della distribuzione che più si avvicina a questo valore. Va notato, tuttavia, che questa pseudo-R 2 può diventare negativo se molti del a i 'S discostano da 0 nella stessa direzione, in tale caso la distribuzione è fortemente inclinata, e deviazione dalla modalità è mediamente maggiore di deviazione dal significare. Negativo pseudo-R 2 'S sono quindi perfettamente legittimo per la densità di cuspide, che limita il suo valore per la valutazione di idoneità del modello. Alternative alla pseudo-R 2 sono discussi di seguito. AIC, BIC e la curva logistica Oltre alla pseudo-R 2 statistica, per stabilire in maniera convincente la presenza di una cuspide CATAS- trophe, Cobb dà tre linee guida per valutare l'adattamento del modello ( Cobb 1998 ; Hartelman 1997 ): Prima, l'adattamento della cuspide dovrebbe essere sostanzialmente migliore di regressione lineare multipla-cioè la sua probabilità dovrebbe essere significativamente superiore a quella del modello di regressione ordinaria. Secondo, qualsiasi dei coefficienti w 1 , ..., W p dovrebbe discostarsi significativamente da zero (w 0 non deve), nonché almeno una delle una j 'S o b j 'S. In terzo luogo, almeno il 10% del (a i , ? i ) Le coppie dovrebbero mentire all'interno della regione biforcazione. Le prime due linee guida possono essere valutate con la sintesi funzione dei pacchetti, la seconda linea guida può essere valutata con la funzione plot, sia di Questi sono dettagliate nella sezione Esempi di seguito. Un problema sorge quando il caso generale dell'equazione ( 8 ) Con più di una variabile dipendente viene utilizzato: Il modello di regressione lineare con cui confrontare il modello cuspide non è unicamente definito. L'approccio più naturale sembra essere lineare sottospazio regressione: La prima canonica variata tra il X ji 'S e la Y ki 'S viene utilizzato come il valore previsto, e la prima canonica correlazione viene utilizzata per calcolare la varianza spiegata e residua. Per i modelli in cui ( 8 ) Contiene una sola variabile dipendente si riduce automaticamente a livello univariato regressione lineare. La linea guida 10% di Cobb è un po 'arbitraria, e Hartelman ( 1997 ); Hartelman, van der Maas, e Molenaar ( 1998 ); van der Maas et al. ( 2003 ) Proporre un test più rigorosi di la presenza di punti di biforcazione: Essi suggeriscono di confrontare il modello adatto per la non-lineare regressione ai minimi quadrati per la curva logistica y i = 1 1 + e -? i / ? 2 i + ? i , i = 1, ..., n, (13) dove y i , ? i , ? i sono definite nelle Equazioni ( 8 - 10 ), E l'e i 'S sono pari a zero significa perturbazioni casuali bazioni. (Si può supporre e i distribuzione normale, ma ciò non è necessario, vedere ad esempio,
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12 Il pacchetto cuspide per R Seber e Wild 1989 .) Il razionale per la funzione logistica è che questa funzione non possedere degenerare punti critici, mentre non hanno la possibilità di modellare arbitrariamente ripida variazioni delle variabili di stato (canonico) in funzione di variazioni minuti in un indipendente variabili, simulando così transizioni "improvvise" della cuspide ( Hartelman 1997 ). La sintesi funzione nel pacchetto fornisce un'opzione per adattare questa curva logistica per i dati. Poiché la densità cuspide e le funzioni logistiche non sono modelli nidificati, l'adattamento non può essere valutata sulla base delle differenze di probabilità, e si deve ricorrere ad altri indicatori quali AIC e BIC. Questi indici di adattamento sono entrambi calcolati dalla funzione di sintesi, nonché un CIA corretto per campioni di piccole dimensioni (AICC, Burnham e Anderson 2004 ). Invece della linea guida 10%, Hartelman ( 1997 ) Si propone di richiedere che l'AIC e BIC indicare una misura migliore per la densità di cuspide che per la curva logistica. Wagenmakers, van der Maas, e Molenaar ( 2005b ) Suggeriscono di utilizzare il BIC di entrambi i modelli per calcolare approssimazione zione delle probabilità a posteriori per la cuspide rispetto alla curva logistica, assumendo pari prima probabilità per entrambi i modelli. 4. Esempi A scopo illustrativo, forniamo tre analisi esempio con il pacchetto. I primi due esempi comportare dei dati che sono stati analizzati con metodi di catastrofe a cuspide prima e avere stato pubblicato altrove. Esempio I Il primo esempio è tratto da van der Maas et al. ( 2003 ), E le preoccupazioni risposta attitudinali transizioni rispetto alla dichiarazione "Il governo deve spingere le aziende a lasciare il loro lavoratori beneficiano del profitto tanto quanto gli azionisti fanno ". Circa 3000 intervistati olandesi indicato il loro livello di accordo con questa affermazione su una scala a 5 punti (1 = assolutamente d'accordo, 5 = completamente in disaccordo). Come un normale orientamento politico fattore (misure su una scala di 10 punti da 1 a 10 = ala destra) è stato utilizzato = fascia sinistra. Come fattore biforcazione il punteggio totale su una 12 articolo è stato utilizzato "coinvolgimento politico" scala. I teorici dettagli sociali psicologici sono discusso in ( van der Maas et al. 2003 ). I dati consistono quindi di una tabella con tre colonne: Orient, involv, e l'atteggiamento. Usiamo lo stesso sottoinsieme di 1.387 casi che è stato anche analizzato in van der Maas et al. ( 2003 ). In che la carta di un ampio confronto di modelli è stato fatto. Questi dati vengono messi a disposizione nel pacchetto e può essere caricato utilizzando i dati ("atteggiamenti") di comando. Qui solo vi presentiamo l'analisi per il miglior modello di raccordo (modello 12 in van der Maas et al. 2003 , Secondo AIC e BIC). In tale modello, il fattore di biforcazione (ß i ) È determinato esclusivamente dalla involv, mentre il fattore normale (a i ) È determinato sia da Oriente e involv. Questo modello può essere equipaggiata con il comando R> fit <- cuspide (y Attitude, + Alpha Orient + involv, + beta involv, + dati = atteggiamenti, Start = attitudeStartingValues) Qui atteggiamenti è il data.frame in cui la tabella con i dati sono memorizzati, e il vettore attitudeStartingValues ??è un insieme iniziale valori che è incluso nel pacchetto di ottenere un
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 13 Stima Std. Errore valore z P (> | z |) un [(Intercept)] 0,15,271 mila 0,56,218 mila 0.272 0,7859 un [Orient] 0,46210 0,06,414 mila 7.204 <.0000 un [involv] 0,09,736 mila 0,05,445 mila 1.788 0,0738 b [(Intercept)] 0,12,397 mila 0,38,643 mila 0.321 0,7484 b [involv] 0,22,738 mila 0.02993 7.597 <.0000 w [(Intercept)] 0,10,543 mila 0,24,485 mila 0.431 0,6668 w [Attitude] 0,87,758 mila 0,06,682 mila 13.134 <.0000 Tabella 2: Coefficiente di tabella riassuntiva per atteggiamenti esempio ottenuti con il metodo di sintesi. soluzione rapida per questo esempio. Entrambi sono stati caricati con una chiamata dati. Si noti l'uso della formula di discusso in precedenza: La prima formula specifica che la variabile di stato y i è determinata dalla Atteggiamento variabile per la quale una posizione e di scala dei parametri (w 0 e w 1 in Equazione 8 ) devono essere stimati. La seconda afferma che il normale formula a fattore i è determinata da le variabili Oriente e involv per i quali coefficienti di regressione e di una intercettazione devono essere stimato. Analogamente la terza formula che specifica che il fattore biforcazione è determinato dal involv variabile per cui una intercetta e un coefficiente di regressione devono essere stimati. Quando la funzione ritorna cuspide, le stime possono essere stampate nella finestra della console di R digitando print (fit). più informativo, tuttavia, è una sintesi dei parametri e la statistiche associate, che si ottiene con l'istruzione R> sintesi (in forma, logist = TRUE) dove logist è impostato su TRUE per confrontare la cuspide alla calzata curva logistica, oltre ad un confronto con un modello lineare. Parte del risultato è esposizione nelle Tabelle 2 e 3 . Esistono solo piccole differenze fra la calzata qui presentato e la vestibilità presentato in ( van der Maas et al. 2003 ), Che sono del tutto a causa di differenze di algoritmo di ottimizzazione. Dovrebbe Va ricordato che in ( van der Maas et al. 2003 ) Le stime dei parametri sono i coefficienti rispetto ai dati standardizzati. Per uniformare i dati della funzione di scala di R può essere utilizzato. La colonna "R 2 "Nella Tabella 3 elenca la correlazione multipla al quadrato per il linearemodello di regressione e modello di curva logistica, e la pseudo-R 2 per il modello catastrofe a cuspide. Una visualizzazione del fit dei dati e grafici di diagnostica viene generato con il comando plot (fit); il risultato viene visualizzato nella Figura 3 . La figura mostra il piano di controllo insieme con il stimato (a i , ? i ), I = 1, ..., n, per ciascuna osservazione. Inoltre, esso (facoltativamente) display per ciascuna delle quattro regioni del piano di controllo una stima della densità stimata R 2 AIC AICC BIC Modello lineare 0,1309 3997,6 3997,6 4018,5 Modello Logist 0,1599 3954,5 3954,5 3985,9 Modello cuspide -0,0962 3623,8 3623,9 3660,4 Tabella 3: Statistiche Modello adatto per esempio i dati di sintesi come ottenuti con sintesi. Gli colonna "R 2 "Dà R convenzionale 2 per il modello lineare e logist, e la pseudo-R 2 Statistica per il modello cuspide.
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14 Il pacchetto cuspide per R -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 a ß q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -2 0 1 2 Vs residua Equipaggiata Fornitura completa (convenzione di ritardo) Residuo -2 -1 0 1 2 0.0 0.4 0.8 density.default (x = y [m [[i]]]) N = 342 Larghezza di banda = 0,1672 Densità -2 -1 0 1 2 0.0 0.4 0.8 density.default (x = y [m [[i]]]) N = 564 Larghezza di banda = 0,1513 Densità -2 -1 0 1 2 0.0 0.2 0.4 density.default (x = y [m [[i]]]) N = 429 Larghezza di banda = 0,2271 Densità -2 -1 0 1 2 3 0.0 0.2 density.default (x = y [m [[i]]]) N = 52 Larghezza di banda = 0,3844 Densità Figura 3: grafico diagnostico di adattamento dei dati di assetto ottenuto con il metodo trama che è disponibile nel pacchetto.
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 15 variabile di stato in quella regione. Questi vengono visualizzati a destra in figura: Le prime due pannelli riflettono le densità della regione sinistro e destro della regione biforcazione rispettivamente. Questi dovrebbero essere inclinate positivamente per il lato sinistro e inclinate negativamente per il lato destro (Confronta Figura 2 ). Visualizzare il pannello successivo la stima di densità per le stime di stato sotto la regione di biforcazione. Qui la stima della densità deve essere di circa unimodale e meno distorto che nelle altre due regioni. L'ultimo pannello mostra la stima della densità per i valori di stato stimate all'interno della regione biforcazione. In questa regione la densità deve essere bimodale. Per i dati visualizzati qui le prime tre densità sembrano pesantemente multi-modale. Questo è dovuto al fatto che il fattore biforcazione "orientamento politico" è stata misurata su una discreta ordinale punti scala a 10, quindi artifactually introducendo modi intorno a questi valori. Il residuo contro il complotto montato mostra gli errori stimati in funzione di stati previsti. Come indicato in precedenza, per impostazione predefinita gli errori sono calcolati utilizzando la convenzione di ritardo. Anche se con un buon Modello da uno si aspetterebbe di vedere alcuna relazione sistematica tra gli errori stimati e gli stati previsti, abbiamo osservato un trend negativo costante tra i due, anche quando i dati sono stati generati dalla densità cuspide nelle simulazioni. Questo può semplicemente provocare dai casi di cui la densità è fortemente inclinata. Quindi, una leggera tendenza negativa non dovrebbe essere preso troppo sul serio come un'indicazione di modello disadattato. Notare dalla Figura 3 che la stragrande maggioranza dei casi si trovano in regioni in cui la cuspidedensità è moderato a forte distorta. Questo fatto rappresenta il negativo pseudo-R 2 . Lange et al. ( 2000 ) Ha raccomandato di respingere il modello cuspide del tutto quando pseudo negativi R 2 provocare. Questa sembra essere una raccomandazione ingiustificata perché negativi pseudo-R 2 valori- a causa della definizione di tale misurazione del fit-tutto possibile per la densità cuspide. Infatti, negativo pseudo-R 2 Sono possibili le statistiche per tutti (fortemente) distribuzione asimmetrica, come per esempio una distribuzione chi-quadrato. Invece di rifiutare il modello di catastrofe a cuspide sul base di un negativo pseudo-R 2 , Si potrebbe considerare dimenticando questa misura di adattarsi completamente, in quanto chiaramente non è particolarmente adatto per gli scopi previsti in distribuzioni non simmetriche. Invece, si può usare AIC e BIC per confrontare il modello cuspide con modelli della concorrenza tali come il modello di regressione lineare e la curva logistica. Esempio II Nel secondo esempio si usa il modello specificato da Oliva et al. ( 1987 ) Per dimostrare l'uso di molteplici variabili di stato. Il modello corrisponde ai dati in tabella 2 di tale documento, che visualizza i dati sintetici per 50 casi con punteggi su due (dipendente) variabili di stato (Z 1 e Z 2 ), quattro (indipendente) le variabili di biforcazione (Y 1 , Y 4 , Y 4 , E Y 4 ), E tre (indipendente) normale variabili (X 1 , X 2 , E X 3 ). I dati possono essere caricati dal pacchetto con i dati (Oliva). Il modello "vero" per i loro dati di sintesi è a i = X 1 - 0,969 X 2 - .201 X 3 , ß i = .44 Y 1 + 0.08Y 2 + .67 Y 3 + .19 Y 4 , (14) y i =-0.52Z 1 - 1.60Z 2 . A scopo di verifica, Oliva et al. non aggiungere rumore a qualsiasi delle variabili, e, di conseguenza, ladati perfettamente conformi alle loro equazione di regressione implicita ( 3 ). Poiché stiamo usando l'approccio stocastico di Cobb , Non siamo in grado di utilizzare questi dati deterministici. Abbiamo dati quindi generati in conformità con il modello di equazione ( 14 ), Dove X 1 , X 2 , e X 3 sono stati distribuiti uniformemente sull'intervallo (-2,2), Y 1 , Y 2 e Z 1 erano uniformemente
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16 Il pacchetto cuspide per R Modello I Stima Std. Errore valore z P (> | z |) A [x1] * 0,82,896 mila 0,21,994 mila 3.769 .0002 un [x2] * -,67698 0,19,928 mila -3,397 0,0007 un [x3] -,17317 0,15,706 mila -1,103 0,2702 b [y1] * 0,44,729 mila 0,13,899 mila 3.218 0,0013 b [y2] 0,24,059 mila 0,16,021 mila 1.502 0,1332 b [Y3] * 0,81,809 mila 0,12,873 mila 6.355 <.000 b [y4] -,14654 0,14,315 mila -1,024 0,3060 w [Z1] * -,49822 0,04,633 mila -10,753 <.000 w [Z2] * -1,50097 0,08,555 mila -17,545 <.000 Modello II Stima Std. Errore valore z P (> | z |) un [(Intercept)] -0,8868 0,6240 -1,4213 0.1552 A [x1] -0,9109 0,2564 -3,5527 0.0004 un [x2] 0,7251 0,2191 3,3100 0.0009 un [x3] 0.1584 0,1735 0,9130 0,3613 un [y1] 0.0653 0.0933 0,6998 0,4841 un [y2] -0,0341 0,1099 -0,3108 0,7560 un [y3] 0,1474 0.1318 1,1182 0,2635 un [y4] 0,0590 0,1149 0,5131 0,6079 b [(Intercept)] 0.1572 0,9575 0.1642 0,8696 b [x1] 0.0317 0,3053 0.1039 0,9173 b [x2] -0,3197 0,2690 -1,1883 0,2347 b [x3] -0,2083 0,2428 -0,8581 0,3909 b [y1] 0,4379 0.1389 3,1528 0.0016 b [y2] 0,2794 0,1721 1.6235 0,1045 b [Y3] 0,7788 0,1983 3,9266 0.0001 b [y4] -0,1432 0,1701 -0,8419 0.3999 w [(Intercept)] -0,0976 0,1046 -0,9328 0,3509 w [Z1] 0,4963 0,0493 10,0720 <.000 w [Z2] 1,5186 0,0897 16,9330 <.000 Tabella 4: Coefficiente tabella riassuntiva per esempio i dati sintetici ottenuti con sintesi. Sig- parametri cativi sono indicati marcati con un asterisco ( * ). Modello I: y ~ z1 + z2 - 1, alfa ~ x1 + X2 + x3 - 1, beta ~ y1 + y2 + y3 + y4 - 1. Modello II: y ~ z1 + z2, alfa, beta ~ x1 + x2 + x3 + y1 + y2 + y3 + y4.
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 17 R 2 AIC AICC BIC Modello lineare 0,5381 131.72 137.37 150.84 Modello Logist 0,8485 92.17 114.23 126.58 Modello cuspide 0,7821 80.60 105.93 116.93 Tabella 5: Statistiche Modello adatto per Oliva et al. ( 1987 ) Esempio di dati sintetici, ottenuti con sintesi per il modello meno informati (Modello II; vedi il testo per i dettagli). Nota: "R 2 "Value for cuspide è pseudo-R 2 . distribuita su (-3,3), e Y 3 e Y 4 sono stati distribuiti uniformemente su (-5,5). Gli stati y i sono stati poi generato dalla densità cuspide con i rispettivi a e ß come normale e fattori di divisione, e poi Z 2 è stato calcolato come Z 2i = (Y i + 0.52Z 1i ) / (-1.60). La richiesta di adattamento del modello di Oliva et al. per il set di dati risultante èR> oliva.fit <- cuspide (y z1 + z2 - 1, + alpha x1 + x2 + x3 - 1, + beta y1 + y2 + y3 + y4 - 1, + data = Oliva) Si noti che nel modello non ci sono coefficienti intercettare, questo è significata nella chiamata cuspide da il -1 aggiunto alla formula di (vedere la sezione formula del Manuale R, R nucleo di sviluppo Squadra 2009 per i dettagli). I dati sono memorizzati nel frame oliva dati in questo caso. Il risultato dalla sintesi viene visualizzato (oliva.fit, logist = TRUE) nella parte superiore della tabella 4 . Alcune delle stime differiscono sostanzialmente dai valori veri. Ciò non dovrebbe tuttavia essere troppo sorprendente dato che ci sono 9 parametri stimati e solo 50 osservazioni, resa- istituisce un rapporto di 55/9 ˜ 5,5 osservazioni per parametro. Sei coefficienti differiscono significativamente da zero: una x1 , Un x2 , B y1 , B y3 , E sia w z1 e w z2 . Utilizzando confint per calcolare la fiducia intervalli, otteniamo un x1 , Un x2 , B y1 , B y3 , W z1 e w z2 95% intervallo di confidenza del rispet- tivamente (-1.26, -0,3979), (0.2864,1.0676), (0.1749,0.7197), (0.5658,1.07), (0.4074,0.589) e (1.333,1.669), che coprono tutti ordinatamente i veri valori. Lo stesso intervallo di confidenza per b y4 tuttavia, è (-0.4271,0.134), che non contiene il vero valore. Questo può indicare che lo stimatore è distorto. Infatti Hartelman ( 1997 ) Ha dimostrato nelle simulazioni che gli stimatori sono in effetti di parte. I fattori di controllo (a i S 'e ß i 'S) sono stati invece recuperati abbastanza decentemente: Correlazioni tra l'a reale i 'S e quelli previsti dal modello in forma (che può essere ob- contenute con la funzione predire) era 0,996, e la correlazione tra ß effettivo i S 'e quelli previsto dal modello in forma era 0,924. In contrasto con il modello specificato in questa forma, che è piuttosto informato sulle variabili e il loro ruolo nella catastrofe a cuspide, è spesso il caso che non si sa quali variabili determinare il fattore di splitting, e quali variabili determinano il fattore normale. Abbiamo quindi inoltre dotato di un modello meno informati, in cui entrambi alfa e beta sono specificati come x1 + x2 + X3 + y1 + y2 + y3 + y4. Cioè, tutte le variabili indipendenti sono usate per modellare sia l' splitting così come il fattore normale. Le stime risultanti sono riportati nella seconda parte Tabella 4 . La stessa serie di stime differisce significativamente da zero, dimostrando l'utilità di avere i test di significatività per ogni stima separatamente. Gli intervalli di confidenza tutte coperte il vero valore di parametro, tranne per lo stesso parametro nel modello informato.
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18 Il pacchetto cuspide per R -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 a ß Figura 4: Fit dei dati simulati generati conformare la Oliva et al. ( 1987 Dati di sintesi) esempio.
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 19 Figura 5: Tre visualizzazione tridimensionale del fit della Oliva et al. ( 1987 ) Esempio di dati di sintesi generato con la funzione cusp3d.
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20 Il pacchetto cuspide per R Gli indici di adattamento di questo modello meno informati sono illustrati nella tabella 5 . Notare che la pseudo-R 2 statistiche indica che la misura non differisce sostanzialmente tra il modello e la cuspide modello di curva logistica. Infatti, indica anche che il modello fornisce una curva logistica leggermente meglio adattarsi! Quindi chiaramente, la pseudo R 2 non è in tutti i casi una guida affidabile nella scelta di un modello, e dal momento che di solito siamo inconsapevoli di ciò che il modello "corretto" è, questo rende difficile a fare affidamento su di esso a tutti. L'AIC, AICC, e BIC dall'altro tutto (correttamente) indicano che la cuspide è il modello migliore (di quelli rispetto) per questi dati. La verosimiglianza del chi-quadrato Rapporto di prova data in output del programma indicato che l'adattamento del modello cuspide era significativamente migliore del modello lineare con errori normali (? 2 = 68.71, df = 9, p <.000). Un controllo aereo della dispersione dei dati sintetici per l' Oliva et al. adattamento del modello è presentato inFigura 4 . A tre visualizzazione tridimensionale del modello adatto come generato con cusp3d è presentato in figura 5 . Un paio di cose può notare dal grafico a dispersione: Prima di tutto, i formati dei punti differiscono. Infatti la dimensione dei punti, ciascuno dei quali corrisponde ad un singolo caso, varia secondo la densità osservata bivariato dei valori del fattore di controllo nella posizione del punto. Una seconda osservazione è che i casi che si trovano all'interno del set di biforcazione sono tracciate indiscriminatamente dal fatto che essi giacciono sulla superficie superiore o sulla superficie inferiore. Per renderlo possibile distinguere visivamente questi casi, il colore dei punti varia in base al valore dello stato variabile, i valori più alti sono associati con i viola più intenso, i valori più bassi con verde più intenso. 5. Discussione In questo lavoro abbiamo presentato un pacchetto add-on per la cuspide modellazione catastrofe in R. La funzioni di interfaccia utente di base consentono all'utente di specificare in modo semplice e montare una vasta gamma di modelli utilizzando l'approccio di massima verosimiglianza di Cobb ( 1980 ; Cobb e Watson 1980 ). E 'anche fornisce all'utente una serie di strumenti per la valutazione della cuspide catastrofe adattamento del modello. Sebbene l'obiettivo di questo lavoro era interamente sulla metodologia quantitativa, in nessun modo fare consideriamo la misura statisticamente soddisfacente di una catastrofe a cuspide modello o qualsiasi catastrofe modello per quella prova materia-definito per la per la presenza di fase dinamica transizione zioni. Senza valutazione qualitativa concomitante presenza di bandiere catastrofe implicita dal modello, e senza un quadro teorico suono che implica un sottostante gra- sistema diente vicino stati di equilibrio, qualsiasi modello di fit catatrophe rimane poco convincente. Cobb Metodo 's non è senza esso limitazioni. Catastrofe deterministico classifica i sistemi fino a una serie di morbide scaglie non lineari delle variabili di stato. Hartelman ( 1997 ) Sottolinea che questo pone un problema per Cobb S 'approccio. L'approccio alternativo offerto in Hartelman ( 1997 , Vedi anche Wagenmakers et al. 2005a ) Tuttavia, funziona solo per le serie temporali. Pratica esperienza con le applicazioni a dati trasversali indica che Cobb Metodo 's è adatto per questi casi. Un certo numero di miglioramento del pacchetto può essere pensato. Gli attuali test dei pacchetti per la presenza di punti di biforcazione montando una curva logistica che accomoda arbitrariamente improvvisi cambiamenti nella variabile di stato in funzione di cambiamenti graduali lisce nel controllo variabili. Più idealmente, per verificare la presenza di punti di biforcazione si dovrebbe minimizzare l' negativo verosimiglianza L dell'equazione ( 11 ) Soggetta ai vincoli n d i = ? 2 i / 4-ß 3 i / 27 = 0. Il parametro d i è noto come discriminante di Cardano, dal nome del 16 ° secolo italiano matematico che ha pubblicato la prima volta ( Cobb e Zacks 1985 ). È positivo, solo se la
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 21 equazione cuspide ( 3 ) Ha tre soluzioni, ossia solo se ci sono più stati di equilibrio. Uno quindi può usare probabilità rapporto di prova del chi-quadrato per confrontare questo modello con il non vincolato modello. Questo potrebbe essere un approccio alternativo praticabile per l'adattamento curva logistica, ma richiederebbe una diversa routine di ottimizzazione. Purtroppo, R attualmente non ha routine di ottimizzazione che permette di vincoli di disuguaglianza lineari arbitrarie. Si potrebbe prendere in considerazione, inoltre, un approccio bayesiano per la stima. L'approccio bayesiano how- mai, arriva naturalmente a costo di dover specificare una credenza precedente sulla possibilità di valori dei parametri. Date le relazioni tra i parametri w 0 , W 1 , ..., B q-1 , B q ei dati nelle equazioni ( 8 - 10 ) Quest'ultimo sembra piuttosto laborioso nel caso più generale, e un lontano da impresa intuitivo. Solo (relativamente) Priori disinformativa sembrare semplice, quindi lasciando fuori il cuore di un approccio bayesiano vero. Queste considerazioni saranno esaminate nei futuri miglioramenti del pacchetto. Ringraziamenti La preparazione di questo articolo è stato sponsorizzato in parte da una VENI-sovvenzione e di COF-sovvenzione da parte del Netherland Organizzazione per la ricerca Scienctific (NWO). Riferimenti Alexander RA, Herbert GR, Deshon RP, Hanges PJ (1992). "Un esame di Least- Squares Regression Modeling of Catastrophe-Theory "Psychological Bulletin, 111 (2), 366. - 374. Burnham K, D Anderson (2004). "Multimodello Inference: Understanding AIC e BIC in Selezione del modello. "Metodi e analisi sociologiche, 33, 261-304. Cobb L (1980). "Teoria della stima per la Catastrofe modello cuspide." Atti del Sezione di Survey Research Methods, pp 772-776. Cobb L (1981). "Stima dei parametri per la Catastrofe modello cuspide." La scienza comportamentale, 26 (1), 75-78. Cobb L (1998). "Introduzione alla Cuspide analisi superficiale." Relazione tecnica, Aetheling Con- consulenti, Louisville, CO, Stati Uniti d'America. URL http://www.aetheling.com/models/cusp/Intro. htm . Cobb L, Koppstein P, N Chen (1983). "Stima e Moment ricorsione Relazioni per Distribuzioni multimodali della famiglia esponenziale. "Journal of American Statistical Association, 78 (381), 124-130. Cobb L, Ragade RK (1978). "Applicazioni della teoria delle catastrofi nella Behavioral and Life Scienze. "La scienza comportamentale, 23, 291-419. Cobb L, Watson B (1980). "Statistical teoria delle catastrofi: una panoramica." Mathematical Modelling, 1 (4), 311-317.
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22 Il pacchetto cuspide per R Cobb L, Zacks S (1985). "Applicazioni della teoria delle catastrofi per la modellazione statistica nel . "Journal Bioscienze del Statistical Association, 80 (392), 793-802. Furstenau N (2006). "Modellazione e Simulazione di percezione spontanea di commutazione con Ambigue stimoli visivi in ??Augmented Vision Systems. "Percezione e interattivo Tech- gie, 4021, 20-31. Gilmore R (1993). Teoria delle catastrofi di scienziati e ingegneri. Dover, New York, NY, Stati Uniti d'America. Grasman Rppp, van der Maas HLJ, Wagenmakers EJ (2009). "Montaggio della catastrofe a cuspide in R: Una cuspide Primer Pacco "Journal of Statistical Software, 32 (8), 1-27.. URL http: / / Www.jstatsoft.org/v32/i08/ . Guastello SJ (1982). "Moderatore regressione e la cuspide Catastrofe - Applicazione di 2 - Fase Personale-Selezione, valutazione della formazione, terapia, e la politica. "La scienza comportamentale, 27 (3), 259-272. Guastello SJ (1988). "Catastrofe Modellazione del processo di infortuni: subunità organizzativa Dimensione. "Psychological Bulletin, 103 (2), 246-255. Guastello SJ (1992). "Scontro tra paradigmi - Una critica di un esame della I polinomi di mial tecnica di regressione per la valutazione di ipotesi Catastrofe-teoria ". psicologica Bollettino, 111 (2), 375-379. Hartelman PAI (1997). Teoria delle catastrofi stocastico. Ph.D. tesi di laurea, Università di Amster- Dam, Amsterdam, Paesi Bassi. Hartelman PAI, van der Maas HLJ, Molenaar PCM (1998). "Rilevamento e modellazione svi- Transizioni opmental. "British Journal of Developmental Psychology, 16, 97-122. Isnard C, Zeeman E (1976). "Alcuni Modelli da teoria delle catastrofi nelle scienze sociali." In L Collins (a cura di), l'uso di modelli nelle scienze sociali. Tavistock, Londra, Regno Unito. Lange R, Oliva TA, McDade S (2000). "Un algoritmo per la stima multivariata Cas- tastrophe Models:. GEMCAT II "Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, 4 (3), 169-182. Oliva T, Desarbo W, D-Day, Jedidi K (1987). "GEMCAT: Un generale multivariata metodo- logia per la stima delle modelle catastrofe ". Behavioral Science, 32 (2), 121-137. Poston T, Stewart I (1996). Teoria delle catastrofi e le sue applicazioni. Dover, New York. R Development Core Team (2009). R: un linguaggio e ambiente per il calcolo statistico. Fondazione R per Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0, URL http: / / Www.R-project.org/ . Rosser J (2007). "Ascesa e caduta della teoria delle catastrofi Applicazioni in Economia: Ha il Baby Gettato con l'acqua sporca? "ufficiale Dinamica e controllo economico, 31 (10), 3255-3280. Seber GAF, Wild CJ (1989). Regressione non lineare. Wiley, New York, NY, USA.
Pagina 23
Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 23 Stewart, Peregoy PL (1983). "Modellazione Catastrofe-Theory in psicologia." Psychological Bulletin, 94 (2), 336-362. Sussmann HJ, Zahler RS ??(1978). "Teoria delle catastrofi, come applicata al sociale e biologica Scienze: una critica "Synthese, 37 (2), 117-216.. Ta'eed LK, Ta'eed O, Wright JE (1988). "Determinanti coinvolte nella percezione del Necker Cube: un'applicazione della teoria delle catastrofi "Behavioral Science, 33 (2), 97-115.. Thom R (1973). Stabilità strutturale e morfogenesi: Essai D'une Theorie Generale Des Mod. `Eles. WA Benjamin, California. Thom R, Fowler DH (1975). Stabilità strutturale e morfogenesi: Compendio di un generale Teoria dei Modelli. WA Benjamin, Michigan. van der Maas HLJ, Kolstein R, van der Pligt J (2003). "Transizioni Improvviso atteggiamenti." Metodi sociologici e ricerca, 23 (2), 125-152. van der Maas HLJ, Molenaar PCM (1992). "Lo sviluppo cognitivo per stadi: una domanda di zione della teoria delle catastrofi. "Psychological Review, 99 (3), 395-417. Wagenmakers EJ, Molenaar PCM, Grasman Rppp, Hartelman PAI, van der Maas HLJ (2005a). "Trasformazione invariante stocastico teoria delle catastrofi." Physica D, 211, 263 - 276. Wagenmakers EJ, van der Maas HLJ, Molenaar PCM (2005b). "Montaggio della catastrofe a cuspide Modello. "In BS Everitt, DC Howell (a cura di), Enciclopedia di Statistica in Scienze del comportamento, Volume 1, pp 234-239. Wiley, Chichester, Regno Unito. Zeeman E (1973). "Teoria delle catastrofi in Brain Modelling." International Journal of Neu- roscience, 6, 39-41. Zeeman E (1974). "Sul Comportamento Instabile delle borse." Journal of Mathe- Economia grammaticali, 1, 39-44. Zeeman EC (1971). "La geometria della catastrofe." Times Literary Supplement, pp 1556 - 1557. Zhu C, Byrd R, P Lu, Nocedal J (1997). "L-BFGS-B: Le subroutine Fortran per i grandi Bound ottimizzazione vincolata. "ACM Transactions on Software Mathetmatical, 23 (4), 550-560. A. Altri metodi di stima Diverse tecniche di montaggio per la catastrofe a cuspide, e per i modelli catastrofali, in generale, sono stati proposti in letteratura. Due dei più importanti sembrano soffrire di una numero di problemi, uno dei quali è che la "anti-predizioni" del modello non sono cuspide presi in considerazione. La tecnica di regressione polinomiale di Guastello ( 1988 ) Approssima Forma stocastica di Cobb dell'equazione ( 1 ) Da una equazione differenza che si traduce essenzialmente nella un'equazione di regressione polinomiale. Regressione ai minimi quadrati viene poi utilizzato per stimare la
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24 Il pacchetto cuspide per R parametri. In questa procedura regressione tuttavia, il verificarsi di equilibrio instabile stati è ricompensato tanto quanto stati stabili, piuttosto che puniti ( Hartelman 1997 ). Alessandro et al. ( 1992 ) Hanno inoltre criticato questo approccio perché il dipendente variabile nella regressione è un punteggio differenza di due variabili, uno dei quali è presente anche come predittore. Come conseguenza, la varianza spiegata può essere fino al 50% per completamente dati casuali. Pertanto, il metodo non può distinguere tra una (cuspide) modello di catastrofe e un modello lineare. In una risposta ad Alexander et al. ( 1992 ), Guastello ( 1992 ) Dimostra che il suo tecnica di regressione polinomiale in grado di dare una R 2 stima di 0,55 per i dati puramente casuali. By costruendo la biforcazione e asimmetria fattori ad essere "conosciuto", come l'autore lo definisce, "una quasi perfetto [cioè, R 2 = 0.99] modello cuspide potrebbe essere ottenuto "( Guastello 1992 , P. 387). Sulla base di una, a nostro avviso sbagliata, interpretazione della teoria del caos, l'autore sostiene che da questi esempi si può concludere che questi numeri casuali siano conformi a un fold-e anche un cuspide-catastrofe. Chiaramente, questo non può essere un "cuspide" nel senso della versione di Cobb stocastica equazione ( 3 ).Metodo della regressione polinomiale di Guastello ( 1992 ) Stima dei coefficienti correttamente se il set di dati è una serie temporale, nel qual caso possiamo dimostrare tuttavia, almeno per un Ornstein-Uhlenbeck SDE, che teoricamente R 2 varia da 0 per i campioni ravvicinati a 0,5 per le più campioni spazi (quando i campioni sono quasi scorrelati). Per la cuspide una SDE analogo risultato può essere dimostrata mediante simulazione. Uno scenario in cui il metodo produrrebbe stime dei coefficienti corretti e un alto R 2 , È quando più sistemi indipendenti sono osservati in due occasioni in cui i sistemi sono perturbate per la prima volta da parte di meno due deviazioni standard del livello di rumore di equilibrio. La metodologia multivariata "GEMCAT" di Oliva et al. ( Oliva et al. 1987 ; . Lange et al 2000 ) presuppone che gli stati misurati sono in superficie di equilibrio e che qualsiasi discrepanza è a causa del rumore additivo (molto simile stocastico estensione di Cobb della teoria delle catastrofi, ma, come vedremo, non è proprio la stessa cosa). Quindi, GEMCAT minimizza semplicemente la piazza della sinistra lato dell'equazione ( 3 ), Sommato per tutti gli stati osservati. La qualifica "multivariata"si riferisce al fatto che GEMCAT consente l'utilizzo dell'equazione ( 5 ), Mentre la tecnica di Guastello ( 1988 ) Presume che la variabile di stato y è accessibile per la misura diretta, e non è, come implicato dall'equazione ( 5 ), Un insieme di variabili dipendenti che "prevedere" l' stato. Come è vero per il metodo di Guastello ( 1988 ), Un problema con questo approccio è che stabili e instabili stati di equilibrio sono trattati indiscriminatamente, ed entrambi i tipi di stati vengono "premiati" per la loro presenza nel modello in forma. Infatti, nei dati sintetici multivariati esempio, per undici dei casi nella tabella 2 ( Oliva et al. 1987 ), Il simulato osservato stati erano instabili (cioè inaccessibile) stati di equilibrio. Questo è opposto alle previsioni dalla catastrofe a cuspide che lo stato di equilibrio instabile è improbabile da essere osservato, e contrasta con la concezione di Cobb della teoria delle catastrofi stocastica. Inoltre, come astutamente osservato in Hartelman ( 1997 ), Il metodo per la valutazione del modello proposto in Oliva et al. ( 1987 ) non è valida perché la loro controparte stocastica dell'equazione ( 3 ) Come modello, comporta un implicito equazione per cui i dati dovrebbero aderire-salvo disturbi casuali. A differenza dei tradizionali regressione non lineare, equazioni implicite consentono più stime per ogni insieme di valori delle variabili predittive. L'equazione ( 3 ) E la sua controparte stocastico quindi non costituiscono regressione non lineare in senso convenzionale. Ancora più importante, le condizioni di cui che (asintotica) teoria dell'inferenza statistica è sviluppato per questi modelli impliciti ( Seber e Wild 1989) Esclude proprio quei casi che sono centrali per la teoria delle catastrofi ( Hartel- uomo 1997 ). Come conseguenza, le statistiche chi-quadrato suggeriti inizialmente utilizzati in GEMCAT per il confronto tra i modelli e la scelta del modello non sono più valide. In una nuova versione di GEM-
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Raoul PPP Grasman, Han LJ van der Maas, Eric-Jan Wagenmakers 25 CAT, GEMCAT II ( Lange et al. 2000 ), Questa situazione è stata cambiata e inferenza si riferiscono tecniche di ricampionamento (Jacknife e bootstrap non parametrico). In contrasto con le altre tecniche che si basano unicamente sulla derivata nell'equazione ( 1 ). I metodi sviluppati da Cobb ei suoi colleghi sono basati sulla densità ( 4 ) E quindi prendere in considerazione tutti gli aspetti caratterizzanti della funzione potenziale V del sistema. Per esempio, in cui i due metodi precedenti "premiare" la presenza di equilibrio instabile Stati, l'approccio di massima verosimiglianza di Cobb et al. ( 1983 ) Punisce per la loro presenza, quanto questi corrispondono a punti in un'area della funzione di densità di probabilità bassa, che si trova tra due alti stati di probabilità.PER matematica e filosofia Peter TSATSANIS Abstract: Cerchiamo di riassumere alcuni dei lavori del matematico René Thom riguardo al suo lavoro nella matematica e filosofica aerei. Una breve sintesi del suo lavoro matematico è dato seguito dal suo lavorare sulla stabilità strutturale e sulla morfogenesi che costituiscono, nel nostro parere, il nucleo della sua opera filosofica. Un breve profilo di Catastrofe Teoria è dato seguito da una discussione del programma filosofico di Thom di geometrizzare pensiero e l'attività linguistica (sue semiophysics). Alcuni dei I pensieri di Thom in biologia, la linguistica e la semiotica è presentato e ci siamo concludere con alcune osservazioni sullo stato attuale della Catastrofe Teoria. Parole chiave: René Thom, teoria delle catastrofi, Semiophysics, Naturale filosofia.
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 214 Introduzione L'immortalità di René Thom è assicurata negli annali della Matematica e Storia. La sua neologismi attrattore, bacino di attrazione, una catastrofe punto e Semiophysics fanno parte di questo. Nel 1958, gli è stato conferito il Fields Medal, la più alta onorificenza un matematico può raggiungere. Jean-Luc Goddard ha fatto il film di René Thom e Salvador Dalì creò i suoi ultimi dipinti basati sulla teoria delle catastrofi di Thom (CT). Negli annali della matematica, il suo nome è associato a molti concetti, teoremi e congetture. Tra alcuni dei concetti, troviamo classe Thom, Thom algebra, Thom spazio, Thom isomorfismo, Thom omo-morfismo, Thom spettri, Thom prespectra, Thom funtore, Thom stratificazione, Thom polinomi, complessi Thom Thom, diagonali, Thom operazioni di omologia, Thom mappa, e la codifica Thom. Tra il teoremi, troviamo Thom isomorfismo teorema, teorema di Thom isotopia (Lemma), Thom collettore teorema, Thom cobordismo teorema, Thom scissione lemma, Thom trasversalità teorema e Thom classificazione Teorema (di catastrofi elementari). Molte delle congetture di Thom hanno stata provata. Alcuni di questi includono la genericità di Stabilità, Genera delle superfici in CP 2 e le sue generalizzazioni, Kahler-Thom congettura e il Simplettica Thom congetture e la congettura di Thom su triangolazione delle mappe. Questi concetti, teoremi e congetture si trovano in Thom campi di interesse, che in un momento o un altro inclusi algebrica Geometria, Topologia algebrica, topologia differenziale, Singularity Teoria, teoria delle biforcazioni, sistemi dinamici Teoria e CT. Il suo lavoro su cobordismo, per cui ha ricevuto la Medaglia Fields, è adeguatamente coperto in [Hopf, 1960/2003], [Milnor, 1957 e nel 1958], [Basu et al, 2003] e il Bollettino della AMS, 41 (3), 2004. È
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 215 istruttivo il fatto che [Hopf, 2003: 75], nel discutere il lavoro di Thom presso la Medaglia Fields cerimonia nel 1958, ha osservato che "solo pochi eventi hanno così fortemente influenzato Topologia e, attraverso la topologia, altri rami della matematica come l'avvento di questo lavoro. "a pagina 76, egli scrive: "Uno dei, per nulla banale, intuizioni che Thom era ovviamente fin dall'inizio era che la nozione di cobordismo è particolarmente adatto per lo studio delle varietà differenziali. "Lui conclude a pagina 77 con: "Queste idee [su cobordismo] hanno arricchito in modo significativo la matematica, e tutto sembra indicano che l'impatto delle idee di Thom - sia che trovano la loro espressione nel già noto o in avanti-prossimi opere - non è esaurito da lontano ". maggio, in [maggio, 1975: 215], afferma che" Thom scoperta che si può classificare lisce chiuse n-collettori fino ad un debole relazione di equivalenza di "cobordismo" è una delle più bei progressi della matematica del ventesimo secolo. ", anche se viene riconosciuto che la moderna teoria della topologia di collettori hanno cominciato con l'opera di H. Whitney nel 1930, James, in [James, 1999: 876], scrive: "Tuttavia, il suo vero sviluppo è iniziato dopo il lavoro di Thom sulla teoria cobordismo nel 1954 ... ". Il lavoro di Thom in topologia differenziale e teoria Singularity è adeguatamente coperti in [Haefliger, 1988] e [Teissier, 1988]. In [Seade, 2006: 6], si legge che "Thom, nel 1964, ha dato spunti interessanti per l'uso di Morse Theory studiare fogliazioni su liscio . collettori "Nitecki, in [Nitecki, 1971: 28] scrive di lavoro di Thom sulla trasversalità. Egli dice: "La ragione principale per l'introduzione di trasversalità è la sua utilità nella ricerca di proprietà generiche di mappe. Questa utilità deriva dalla genericità, in circostanze molto generali, di la proprietà di trasversalità stessa. Il prototipo di tale genericità teoremi, a causa di Thom, dice che per mappe altamente differenziabili, trasversalità di una sottovariet fisso è generico. "Bruce e Mond, in [Bruce e Mond, 1999: ix], scrivere: "Thom è stato condotto lo studio di
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 216 singolarità, mentre prendendo in considerazione la questione se sia possibile rappresentare classi di omologia in collettori lisci da incastonato sotto- collettori. Con la sua trasversalità Teorema (1956), ha dato il soggetto una spinta verso una sorta di platonismo moderno. "a pagina x, essi affermano: "Thom ha visto il bundle getto come una versione del platonico mondo delle idee disincarnate, partizionato in attributi (le orbite dei i vari gruppi che agiscono naturalmente sulla jet) ancora senza legami di oggetti (funzioni e mappature) che li incarnano. "Thom definito un "fascio jet" come spazio di polinomi di Taylor (di un specifico grado) di germi di mappe di un collettore liscio al un altro collettore liscio. Continuano a pagina xi con: "Thom ha contribuito anche l'idea di versale dispiegarsi. [...] Il termine 'Versale' è l'intersezione di 'universale' e 'trasversale', e uno di Intuizioni di Thom era che le singolarità di membri di famiglie di funzioni o mappature sono salmente spiegato se il corrispondente famiglia di mappe di estensione jet è trasversale alle loro orbite (equivalenza . classi) nello spazio jet ", concludono sulla stessa pagina con:" Questo intuizione, e inclinazioni platonici di Thom, lo hanno condotto alla catastrofe Theory [così chiamato da Christopher Zeeman]. Egli ha individuato e descritte le sette orbite di singolarità di funzioni che possono essere soddisfatte trasversalmente in famiglie di quattro o meno parametri: questi erano il suo sette catastrofi elementari, che dovevano essere alla base di tutte le bruschi cambiamenti (biforcazioni) in generici famiglie di quattro parametri di sistemi dinamici di gradiente. [...] Molte delle idee di Thom nel teoria della biforcazione e sistemi dinamici di gradiente hanno fornito la base per lo sviluppo successivo, e le polemiche CT non dovrebbe mascherare l'importanza del suo contributo al soggetto ". Molto è stato scritto su TA e alcuni riferimenti sono trovata al termine di questo documento. Quello che segue è un breve riassunto della teoria.
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 217 § 1 -. Cenni di teoria delle catastrofi In primo luogo, la TC è una teoria matematica. La sua fondamentale tema è la classificazione dei punti critici di funzioni lisce. Gli caratteristiche essenziali di una funzione regolare possono essere riconosciuti dal studiando suo incorporamento in una famiglia di funzioni liscia. Come Thom sottolineato nel suo primo libro, stabilità strutturale e morfogenesi (SSM), questo fatto è di estrema importanza per applicazioni poiché fenomeni naturali sono sempre soggette a perturbazioni. CT ha come obiettivo di classificare i sistemi in base al loro comportamento sotto perturbazione. Quando un sistema naturale è descritto da una funzione di variabili di stato, allora le perturbazioni sono rappresentati da controllo parametri su cui la funzione dipende. Questo è come un liscio famiglia di funzioni si pone nello studio dei fenomeni naturali. Un svolgimento di una funzione è una tale famiglia: è una funzione regolare del variabili di stato con i parametri che soddisfano una determinata condizione. L'obiettivo della teoria delle catastrofi è quello di rilevare le proprietà di una funzione di studiando i suoi svolgimenti. In effetti poi, CT fornisce un framework per la descrizione e sistemi di classificazione e gli eventi in cui significativi cambiamenti qualitativi del comportamento del sistema sono causati da piccoli continui cambiamenti parametri. In questo quadro, è possibile identificare la variabili essenziali in un problema e fornire una breve (e spesso al punto) descrizione universale di quel comportamento. In generale, CT è utilizzato per classificare il modo stabile il cambiamento degli equilibri quando sono vari parametri. I punti nello spazio dei parametri, a che si verificano cambiamenti qualitativi nel comportamento, sono esempi di punti di catastrofe. Vicino a questi punti, CT in grado di fornire una canonica modulo per il potenziale, che dipende solo dal numero di stato variabili e parametri di controllo.
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 218 La teoria si dovrebbe applicare a qualsiasi sistema pendenza dove la forza può essere scritto come il gradiente di un potenziale negativo. I punti in cui la gradiente si annulla sono i punti critici e CT si occupa di il degenerare punti. In questi punti, il dell'Assia (matrice di secondo derivati) gioca un ruolo importante. Thom ha dimostrato che nei pressi della degeneri punti critici, il funzione può essere scritta come somma di una forma quadratica, definendo un sottospazio degenere (a parte Morse), e un degenerato sottospazio (La parte non Morse). La parte non Morse della funzione può essere rappresentato da una forma canonica chiamata una funzione catastrofe. Questo funzione è la somma di un germe catastrofe, contenente il non-Morse punto, e un dispiegamento universale, che rimuove la degenerazione il punto critico e rende il potenziale strutturalmente stabili. Classificazione teorema di Thom liste (per catastrofi elementari) questi germi catastrofali e le loro svolgimenti per le funzioni di cui codimension è al massimo quattro. Ci sono solo sette tipi diversi di degenere punti critici per tali funzioni: ciò che Thom chiamato sette catastrofi elementari. (Questo elenco è stato ampliato da Scuola russa di Arnold.) Thom trasversalità utilizzato come strumento principale per dimostrare l'esistenza di svolgimenti universali. Egli ha mostrato che qualsiasi famiglia di potenziali seconda al massimo cinque parametri è strutturalmente stabile ed equivalente intorno a qualsiasi punto di una di queste catastrofi. (Vedere Bogdan e Galles per una descrizione più completa. Gran di quanto sopra, qualche parola per parola, è stata scattata dal loro articolo.) Thom ha creato una teoria matematicamente rigoroso che ha mostrato "la vera natura complementare delle nozioni apparentemente inconciliabili di versality e stabilità, cioè, conservando identità malgrado sviluppo. [Castrigiano e Hayes, 2004: XV, enfasi aggiunta].
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 219 Thom ha riconosciuto che era questa caratteristica che sarebbe di grande importanza per una teoria della cognizione come discusso nel suo SSM. Per Thom, CT è una metodologia, e come recita il sottotitolo del suo primo libro Stabilità strutturale e morfogenesi afferma che si tratta di un contorno di una teoria generale dei modelli. Questi modelli vanno da teorico biologia alla semiotica. Nella sua prefazione al libro teoria delle catastrofi di [Castrigiano e Hayes, 2004], Thom scrive, a pagina ix, che matematici dovrebbero vedere CT come "solo una parte della teoria del locale singolarità di morfismi lisci o, se sono interessati al più ampie ambizioni di questa teoria, come una metodologia di dubbia relativa alla stabilità (o instabilità) dei sistemi naturali ". Castrigiano e Hayes chiamata CT "un intrigante, bello campo della pura matematica [...]. È una naturale introduzione alla teoria della biforcazione e al campo in rapida crescita e molto popolare di dinamica sistemi "(pag. XI) E come Thom dice a pagina x del Forward.: "Tutta la dinamica qualitativa, tutte le teorie" caos "ha parlato circa così tanto oggi, dipendono più o meno su di esso ". § 2 -. Filosofia Naturale E che dire di morfogenesi? Thom discute alcuni aspetti del morfogenesi nel capitolo 4 della SSM. La nascita e la distruzione di forme è stato il filo conduttore di SSM. Louk Fleischhacker in [Fleischhacker, 1992: 248], scrive che "Thom descrive in un impressionante modo la possibilità di cogliere lo sviluppo del individui di una forma superiore di vita. "Ciò è stato realizzato attraverso la sua principi della morfogenesi discussi in [Lu, 1976:166-180]. Gli primo di questi principi è l'affermazione "che la stabilità di qualsiasi fenomeno morfogenetico [definita matematicamente __ ndr.], sia rappresentato da un sistema a gradiente o no, è determinata dalla
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 220 l'insieme attrattore di un certo campo vettoriale "[Lu, l976: 171]. stabilità per Thom è una "condizione naturale di mettere su di modelli matematici per la processi in natura a causa delle condizioni in cui tale processi avvengono non può mai essere duplicato, quindi, ciò che è osservato deve essere invariante sotto piccole perturbazioni e quindi stabile "[Wasserman, 1974: v]. secondo principio di Thom della morfogenesi afferma che "ciò che è interessante di morfogenesi, localmente, è la transizione, come parametro varia da uno stato stabile di un campo vettoriale di uno stato instabile e torna ad uno stato stabile mediante un processo che usiamo per modellare locale del sistema morfogenesi "[Lu, l976: 175]. Wasserman, a pagina 157, scrive che "I modelli forniti da Thom sono destinati solo ad essere modelli locali per processi naturali in ogni caso, una descrizione globale è ottenuta con mettere insieme un gran numero di tali descrizioni locali. "Thom terzo principio della morfogenesi afferma che "ciò che si osserva in un processo in fase di morfogenesi è proprio l'onda d'urto e conseguente configurazione di chreods [zone di stabilità __ ndr]. separati dalle falde del Shockwave, ad ogni istante di tempo (in generale) e su intervalli di tempo di osservazione "[Lu, 1976: 179].. Allora segue "che per classificare un fenomeno osservato o per sostenere una ipotesi sulla dinamica sottostante locale, abbiamo bisogno in linea di principio solo osservare il processo, studiare la catastrofe osservato ' (Discontinuità) set 'e cercare di mettere in relazione ad uno dei numero finito set di catastrofe universale, che sarebbe poi diventato il nostro principale oggetto di interesse "[Lu, 1976: 180].. Anche se un "processo dipende da una gran numero di parametri fisici (come è spesso il caso in Applicazioni), fintanto che è descritta da un modello sfumatura, il Descrizione comporterà una delle sette catastrofi elementari; nella particolare, si può dare una descrizione matematica relativamente semplice di tale processi apparentemente complicate anche se uno non sa cosa l' parametri fisici rilevanti trovano o il meccanismo fisico processo è. E il numero di parametri che sono coinvolti nella
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 221 meccanismo fisico non svolge alcun ruolo nella descrizione. "[Wasserman, 1974: 161, corsivo aggiunto] In parole di Thom: ". Se consideriamo un dispiegarsi, siamo in grado di ottenere una intelligenza 'qualitativo' sulla comportamenti di un sistema in prossimità di un instabile punto di equilibrio "[Castrigiano e Hayes, 2004: ix].. Secondo Thom, era questa idea che non è stato accettato ampiamente ed è stato criticato da alcuni matematici applicati ", perché solo per loro esattezza numerica permette di previsione e quindi efficiente azione "[Castrigiano e Hayes, 2004: ix].. Poiché l'esattezza leggi poggia su analitica continua-zione che sola consente un affidabile estrapolazione di una funzione numerica, come può la teoria dei stabilità strutturale dei sistemi differenziali su un aiuto collettore qui? Dopo il lavoro di A. Grothendieck, è noto che la teoria singolarità dispiegarsi è un caso particolare di una categoria generale - il teoria delle deformazioni piane di un insieme analitico e di piatto locale deformazioni di un insieme analitico solo il caso ha una ipersuperficie lisciare dispiegarsi di dimensione finita. Per Thom, questo significava che "se abbiamo voluto continuare il dominio scientifico di leggi esatte calcolabili, saremmo giustificati nel considerare il caso in cui un analitico processo porta ad una singolarità di codimensione uno (in interno variabili). Non potremmo quindi aspettarci che il processo (definito, per esempio, come la propagazione di una azione) sia diffusa (in esterno variabile) e successivamente propagato nello svolgersi secondo una modalità che verrà definito? Tale argomento permette di pensare che il dominio Wignerian di leggi esatte può essere esteso in un regione dove processi fisici non sono più calcolabili ma dove continuazione analitica rimane 'qualitativamente' valido. "[Castrigiano e Hayes, 2004: ix]
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 222 Il programma filosofico Thom aveva in mente per il CT è stato il geometrizzazione del pensiero e dell'attività linguistica. La sua naturale Aspirazioni Filosofia stati centrati "sulla necessità di ripristinare da adeguate metafisica minimali qualche tipo di intelligibilità a il nostro mondo ". [Semiophysics, pag. ix] Alle pagine 218-220 del suo Semiophysics, egli scrive: "La scienza moderna ha fatto l'errore di rinunciando a tutti ontologia riducendo i criteri di verità per pragmatica successo. È vero, il successo pragmatico è una fonte di pregnanza e così di significazione. Ma questo è un immediato significato puramente locale. Pragmatismo, in un certo senso, è poco più che la forma concettualizzato di un certo ritorno alla natura animale. Il positivismo steccata sulla paura di coinvolgimento ontologico. Ma non appena si riconosce la esistenza di altri e accettare un dialogo con loro, siamo in realtà ontologicamente coinvolti. Perché, allora, non dovremmo accettare le entità suggerito a noi per lingua? Anche se ci sarebbe da tenere un controllare su ipostasi abusivo, questo sembra l'unico modo per portare un certa intelligibilità per il nostro ambiente. Solo alcuni realista metafisica può ridare significato a questo nostro mondo ". Thom è il primo essere umano a dare il primo rigorosamente monistica modello di essere vivente, e per ridurre il paradosso dell'anima e il corpo di un singolo oggetto geometrico. Questo è uno dei suoi più grandi realizzazioni. Anche se alcuni aspetti del suo modello sono incompleti o sbagliato, lui ha aperto un universo concettuale di questo. Come egli dice a pagina 320 del suo SSM: "Ma in una materia come l'umanità stessa, si può vedere solo la superficie delle cose. Eraclito ha detto, 'si potrebbe non scoprire i limiti dell'anima, anche se hai viaggiato ogni strada per farlo, tale è la profondità della sua forma '"E così è con. Il lavoro di Thom. La sua importanza è, come dice CH Waddington, "il introduzione, in modo massiccio e approfondita, del pensiero topologico come quadro di riferimento per la biologia teorica. Dato che questo ramo della scienza guadagna terreno, non sarà mai in futuro essere in grado di trascurare la
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 223 approccio topologico di cui Thom è stato il primo significativo avvocato "[SSM: xxxi-xxxii]. § 3 -. Interdisciplinarità I pensieri di Thom avventurato in molti campi come la biologia, linguistica e della semiotica. Concludo questo articolo con un commento su ciascuna di queste aree e di un ulteriore commento circa l'attuale stato di cose. Nel suo SSM, pagine 290-291, Thom discute la malignità del attrattore umano. In un preambolo in evoluzione, egli scrive: "Cominciamo con l'obiezione di base dei finalisti di una teoria meccanicistica della evoluzione: se l'evoluzione è governata dal caso, e le mutazioni sono controllato solo dalla selezione naturale, allora come ha questo processo prodotta strutture sempre più complesse, che porta all'uomo e le straordinarie gesta di intelligenza umana? Io penso che questa domanda ha una sola risposta parziale, e questa risposta [che C'è una struttura matematica garantire la stabilità-PT] sarà criticata come idealista. [...] Penso che allo stesso modo ci sono formali strutture, infatti oggetti geometrici, in biologia, che prescrivono la uniche forme possibili in grado di avere una dinamica di auto-riproduzione in un dato ambiente. [...] Attrazione di forme è probabilmente uno dei fattori essenziali dell'evoluzione. Ogni eigenform (si potrebbe anche dire ogni archetipo se la parola non aveva una connotazione finalista) aspira ad esistere e attira il fronte d'onda della luce quando essa raggiunge topologicamente eigenforms vicini; non ci sarà concorrenza tra questi attrattori, e possiamo parlare della potenza di attrazione di un modulo sulle forme vicine, o la sua malignità. Da questo punto di vista si è tentati, con l'attuale battuta d'arresto apparente in evoluzione, a pensare che l'attrattore umano è troppo maligno. Del teoricamente
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 224 possibili forme di vita solo pochissimi sono toccati dal fronte d'onda ed effettivamente posto in essere ". [Il corsivo è mio.] Dovremmo prestare attenzione questo perspicace avvertimento e riconoscere che la migliore possibilità per il sopravvivenza del genere umano è di rallentare, in ogni possibile significativa modo, la malignità del attrattore umana. I commenti dei [Pérez Herranz, 2000], sono molto penetranti su questo argomento. In una discussione sul linguaggio, Thom scrive: "Il pensiero è quindi un vera e propria concezione, mettendo modulo a attante manichino derivante dalla morte del verbo, proprio come l'uovo mette carne sul spermatozoo, quindi il pensiero è una sorta di orgasmo permanente. C'è un dualismo tra pensiero e linguaggio che ricorda quello che ho hanno descritto tra sogno e gioco: il pensiero è un virtuale cattura di concetti con una virtuale, inibita, emissione di parole, un processo analogo a sognare, mentre in lingua questa emissione effettivamente luogo, come nel gioco ". [SSM, pag. 313] Semiotica di Thom è un enorme dominio e si rinvia a suoi Semiophysics, e le opere di Jean Petitot, Wolfgang Wildgen e Laurent Mottron. Mottron mette succintamente, in [Mottron 1989: 92], quando scrive, "Thom concepisce la mente umana come un tracciato, una simulazione, un 'esfoliazione' del mondo esterno, costretto dalla stesse a priori le leggi come il mondo. Thom usa esempi ontogenetici di dimostrare che a priori semiotica e le sue realizzazioni psicologiche sovrapporsi, sostenendo una posizione filosofica realista. Questa analogia non può essere ridotta ad una causalità lineare, nel senso che l' mente umana dovrebbe essere governato dalle stesse leggi come il mondo perché si esce dal mondo, bensì si spiega con la universalità delle leggi che regolano dinamica astratto e concreto conflitti. Nella tradizione catastrofe della teoria, una classificazione è giustificata per la generalità della sua applicazione, non per la validazione quantitativa ".
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 225 § 4 -. Considerazioni finali Molti hanno scritto e continuano a scrivere che la matematica comunità è diventato disilluso con CT __ l'ultimo dei quali George Szpiro che, a di Poincaré premio [Szpiro, 2007: 158-159], scrive: "Per e di grandi dimensioni, la critica non era diretta contro la matematica basi del lavoro di Thom. Piuttosto centrata sul indiscriminato uso della teoria, [...], per le applicazioni di presunti. Presto un gioco sviluppato, e la teoria delle catastrofi, che aveva promesso tanto ma prodotto così poco al di fuori della pura matematica, affondò in discredito. Oggi si sente poco. " Gli autori continuano a scrivere su questo mito o rimanere ignoranti su l'importazione del lavoro di Thom. Pochissimi sanno che egli era colui che introdotto il concetto di 'attrattore', che gioca un ruolo importante nella molte aree. Si deve cercare la letteratura di trovare molti applicazioni della teoria delle catastrofi __ dalla biologia dello sviluppo [Striedter, 1998], le frequenze cardiache fetali [Kikuchi et al, 2000], gravitazionale lensing [Petters et al, 2001] a recenti risultati per transizioni di fase [Bogdan e Galles, 2004], l'energia paesaggi [Wales, 2001, 2003], funzione biologica [Viret, 2006], e la teoria dei sistemi biologici [Gunawardena, 2010]. Semplicemente, se si accetta i commenti che Thom ha fatto nella sua Inoltra a [Castrigiano e Hayes, 2004: ix] (Pagine 7-8 di questo articolo) di estendere il dominio di Wignerian leggi esatte, CT rimarrà utile per lungo tempo. Per il lettore interessato, i libri di [Woodcock e Davis, 1978], [Saunders, 1980], [Postle, 1980] e [Arnol'd, 1992] sono una buona cominciando anche se Arnol'd è inutilmente duro su Thom perché Arnol'd non poteva accettare i commenti di Thom di estendere la Wignerian dominio regioni "Dove i processi fisici non sono più calcolabile ma dove continuazione analitica rimane 'Qualitativamente valido' ". I libri di [Gilmore, 1981], [Poston e
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 226 Stewart, 1978] e [Castrigiano e Hayes, 1993/2004] sono orientati a matematici e fisici. I libri di [Zeeman, 1977] e [Thom, 1975/1989] può essere letto da tutti gli scienziati e i lettori interessati. Essi non sono facili, ma come Thom dice: "Non lo farò negare che la comunicazione sarà difficile, [...], ma la mia scusa è un fiducia infinita in risorse del cervello umano "[SSM!: xxxiii]. *** Bibliografia Arnol'd, VI, teoria delle catastrofi (3 rd edizione), (New York: Springer-Verlag, 1992.) Traduzione di G. Wassermann sulla base di una traduzione da RK Tommaso. Basu, S., R. Pollack e M.-F. Roy, Algoritmi in geometria algebrica reale, New York: Springer-Verlag, 2006. Bogdan, TV e DJ Galles, "Nuovi risultati per transizioni di fase di catastrofe teoria ", J di Chimica Fisica 120, 23 (2004): 11.090-11.099. Bruce, B. e DN Mond, eds Teoria Singularity, Cambridge, Inghilterra.: Cambridge U. Press, 1999. Castrigiano, DPL e SA Hayes, teoria delle catastrofi, Redwood City, CA:. Addison-Wesley, 1993 Teoria della Catastrofe, 2 ND ed, Boulder, CO.: Westview Press, 2004. Fleischhacker, L., "La matematizzazione della vita o se il Scienze matematiche consentono ancora di dubbio ", Graduate Faculty Filosofia Journal 16, 1 (1992): 245-258. Gilmore, R., Teoria della Catastrofe di scienziati e ingegneri, New York: Dover, 1981. Gunawardena, J., "Teoria dei Sistemi Biologici", Science 328, (30 aprile 2010): 581.
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 227 Haefliger, A. "Un Aperçu de l'Oeuvre de Thom en Topologie Différentielle ", pubblicazione Mathématiques 68 (1988): 13-18 (Bures-sur- Yvette, Francia: IHES). Hopf, H., "L'opera di R. Thom." In Lectures Campi Medallists ', 2 ND ed., Atiyah, Sir M. Iagolnitzer D., eds, Singapore:. World Scientific, 2003. La lezione originale, in tedesco, si trova negli Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Cambridge, Inghilterra: Cambridge UP, 1960. James, IM, ndr Storia della topologia, Amsterdam:. Elsevier, 1999. Kikuchi, A. et al, "Modello catastrofe per decelerazioni del cuore del feto Vota "Gynecologic Investigation Ostetrica 61, 2 (2000):. 72-79. Lu, Y.-C., Teoria Singularity e una introduzione alla teoria delle catastrofi, New York: Springer-Verlag, 1976. Maggio, JP, Algebraic Topology-omotopia e omologia New York: Springer- Verlag, 1975. Milnor, J., "Un'indagine di teoria cobordismo", L 'Enseignment Mathématique 8 (1962): 16-23. Milnor, J. Differential Topology-Letture, Princeton, NJ: Princeton UP, 1958. Note di James Munkres nel 1958. Milnor, J. caratteristici Corsi - Lezioni di Princeton, Princeton, NJ: Princeton UP, 1974. Note di James Stasheff nel 1957. Mottron, L., "La diffusione de prégnance de R. Thom: Une applicazione à L'Ontogenese des conduites sémiotiques Normales et pathologiques ", Semiotica 67 (3-4) (1987): 233-244. Mottron, L., "Semiotica di René Thom: un'applicazione al Patologica Limitazioni della semiosi ". Nel web Semiotica: Annuario di Semiotica 1988, Sebeok, TA e Umiker-Sebeok, J., a cura di, Berlino:. Mouton Gruyter, 1989. Müürsepp, Peeter, stabilità strutturale come il centro della filosofia di René Thom: Da Aristotele a Contemporary Science, Saarbrücken, Germania: Lambert Academic Publishing AG and Co., 2010. Nitecki, Z., differenziabili Dynamics, Cambridge, MA: MIT Press, 1971. Pérez Herranz, FM, El Astuto atractor humano: Introducción a la ética de Réne Thom, Alicante, España: Publicaciones de la Universidad de Alicante, 2000.
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 228 Petters, AO, H. Levine e J. Wambsganss, Teoria e Singularity Lente gravitazionale, Boston: Birkhäuser, 2001. Postle, D., Teoria della Catastrofe, Glascow: Fontana, 1980. Poston, T. e IN Stewart, teoria delle catastrofi e le sue applicazioni, Londra: Pitman, 1978. Saunders, PT, Introduzione alla teoria delle catastrofi, Cambridge, Inghilterra: Cambridge UP, 1980. Seade, J., sulla topologia delle singolarità isolate in spazi analitici, Basilea, Svizzera: Birkhäuser, 2006. Striedter, GF, "Stepping nello stesso fiume due volte: omologhi come attrattori in paesaggi epigenetici ", Cervello, Behavior and Evolution 52, (1998): 218-231. Szpiro, G., Premio di Poincaré, New York: Dutton, 2007. Teissier, B., "Travaux de Thom sur les singolarità", pubblicazione Mathématiques 68 (1988): 19-25 Bures-sur-Yvette, Francia: IHES. Thom, R., Oeuvres complètes (OC), CD-ROM, M. Porte (a cura di), Bures-sur- Yvette, Francia: IHES, 2003. Questa è una versione molto completa di Thom pubblicati e inediti. Ci sono un paio di articoli non pubblicato in OC e il Prof. Porte è stato messo al corrente di questo. ______________ Esquisse d'une sémiophysique, Parigi: Inter-Edizioni, 1988. Questo libro è stato tradotto in inglese da Vendla Meyer come Semio Fisica: uno schizzo - Fisica aristotelica e Teoria catastrofe. E 'stato pubblicato nel 1990 da Addison-Wesley, Redwood City, CA. Si farà riferimento a questo libro come Semiophysics. ______________ Stabilite structurelle et Morphogenese, Reading, MA: Benjamin, 1972. Una seconda edizione, con alcune modifiche, è stato pubblicato nel 1977. Del 1972 edizione, con alcune piccole modifiche, è stato tradotto in inglese come Stabilità strutturale e morfogenesi (SSM) di DH Fowler e pubblicato nel 1975 dallo stesso editore. Un edizione 1989, con una nuova prefazione di Thom, è stato pubblicato da Addison-Wesley, Redwood City, CA. Viret, J., "Funzione generalizzata biologica." Acta Biotheoretica 53 (2005): 393 - 409. Galles, DJ, Energia Paesaggi, Cambridge, Inghilterra: Cambridge UP, 2003.
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P. Tsatsanis, Sulla rilevanza di René Thom Scripta Philosophiæ Naturalis 2: 213-229 (2012) ISSN 2258 - 3335 229 Wassermann, G., Stabilità di svolgimenti, New York: Springer-Verlag, 1974. Woodcock, AER e M. Davis, teoria delle catastrofi, New York: Dutton, 1978. Papers 1972-1977, Reading, MA Zeeman, CE, Catastrophe Theory-selezionata: Addison-Wesley, 1977. Peter Tsatsanis E-mail: Diederik Aerts 1 , Marek Czachor 2 , Liane Gabora 1 , Maciej Kuna 2 , Andrzej Posiewnik 3 , Jaroslaw Pykacz 3 , Monika Syty 2 1 Centrum Leo Apostel (CLEA) e Fondamenti delle scienze esatte (Fondo) Libera Università di Bruxelles, 1050 Bruxelles, Belgio 2 Wydzial Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechnika Gdanska, 80-952 Danzica, Polonia 3 Wydzial Fizyki i Matematyki, Uniwersytet Gdanski, 80-952 Danzica, Polonia Proposizioni non commutativa sono caratteristici di entrambi quantistica e non quantistica (sociologico- cal, biologici, psicologici) situazioni. In uno spazio di Hilbert modello di Stati, intesa come correlazioni tra tutti i possibili proposizioni, sono rappresentati da matrici di densità. Se i sistemi in questione interagiscono attraverso un feedback con l'ambiente è la loro dinamica non lineare. Evoluzioni non lineari di densità matrici portano a fenomeni di morfogenesi che possono verificarsi nei sistemi non-commutativi. Seve- ral espliciti modelli esattamente risolubili vengono presentati, tra cui 'nascita e morte di un organismo' e 'Sviluppo di proprietà complementari. I. INTRODUZIONE Teoria delle catastrofi di René Thom è un tentativo di trovare un trattamento matematico universale della morfogenesi [1] intesa come cambiamento temporalmente stabile di forma di un sistema. La teoria funziona a un meta-livello e non crucialy dipenderà dettagli di interazioni che formano un ecosistema concreto, organismo o società. Per conseguire questo obiettivo l'analisi deve fare i conti con le classi qualitative degli oggetti e deve possedere determinate caratteristiche di universalità. Lo scopo del presente lavoro è simile. Definiamo un sistema da uno spazio astratto di stati. L'insieme di proposizioni che definiscono le proprietà del sistema è in generale non-Booleano. In particolare, le proposizioni corrispondenti alla stessa proprietà può non essere contemporaneamente misurabile se considerato in tempi diversi. Anche allo stesso tempo si può esistono insiemi di proposizioni reciprocamente inconsistenti. Sebbene sistemi logici formali di questo tipo sono ben noti dalla meccanica quantistica [2] è anche noto che la portata delle applicazioni della logica booleana non è molto più ampia [3-7]. Praticamente qualsiasi situazione che coinvolge contesti appartiene a questa categoria di appartenenza. Formalmente un contesto significa che un valore logico associato con una data proposizione dipende su una storia del sistema. In particolare, l'ordine in cui vengono poste domande non è irrilevante. I sistemi che considereremo sono probabilistici. La morfogenesi verrà descritta in termini di probabilità o incertezze associate con determinate serie di proposizioni. La natura contestuale delle proposizioni richiederà una rappresentazione delle probabilità diverso dal quadro Kolmogorovian [8] di set e proiettori pendolarismo (Funzioni caratteristiche). Proposizioni saranno rappresentati da proiettori su sottospazi di uno spazio di Hilbert. Un altro elemento che consideriamo cruciale è una retroazione. Commenti significa che il sistema in esame interagisce con qualche ambiente. L'ambiente è influenzato dal sistema e il sistema reagisce ai cambiamenti dell'ambiente. Anche i modelli più semplici di tali interactons portano effettivamente ad equazioni non lineari di evoluzione [9]. Pertanto, invece di modellare l'interazione diremo che il feedback è presente se la dinamica del sistema non è lineare, con alcune restrizioni sulla forma di non linearità. Un sistema che interagisce con l'ambiente è statisticamente caratterizzato da probabilità condizionate non banali. Nel linguaggio del non-Kolmogorovian calcolo delle probabilità questo implica che gli Stati non sono date da semplice tensore prodotti di stati. D'altro canto, una semplice tensore descrive uno stato che coinvolge correlazioni e pertanto né interazioni né feedback. Di conseguenza, la non linearità rappresenta feedback dovrebbe scomparire se il sistema in questione e l'am- mento sono in uno stato prodotto. Quest'ultima proprietà può essere utilizzata per ridurre la classe di ricevibili evoluzioni non lineari. In lo spazio di Hilbert-linguaggio lo stato di un sottosistema è rappresentato da un operatore ? statistico che non è un proiettore (Cioè ? 2 = ?) ogni volta che lo stato del sottosistema sistema composito + ambiente non è stato prodotto. Pertanto, la condizione ? 2 = ? caratterizza stati di sottosistemi che non interagiscono con gli ambienti. Questo porta alla seguente limitazione: Le dinamiche di ? è lineare se ? 2 = ?. Quest'ultima condizione non è ancora sufficiente restrittiva poiché può essere soddisfatta sia dissipativo e non dissipativo evoluzioni [10]. Dovremo limitare le dinamiche di sistemi Hamiltoniani. Nel presente lavoro le funzioni Hamiltoniani sarà tempo indipendente, che significa approssimativamente che la forma del feedback non cambia nel tempo. Infine, vogliamo rendere la discussione universale. Con questo intendiamo dire due cose: (1) Le funzioni Hamiltoniani dovrebbe essere tipico di una grande classe di sistemi dinamici, e (2) i risultati non dovrebbero determinante la forma di feedback, ma più sul fatto che il feedback è presente. 1 Pubblicato da: Aerts, D., Czachor, M., Gabora, L., Kuna, M., Posiewnik, A., Pykacz, J. e Syty, M. (2003). Quantum morfogenesi: la teoria di una variazione Thom catastrofe, Physical Review E, 67, 051.926
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Le funzioni Hamiltoniani più universali sembrano corrispondere a hamiltoniani con spettri equidistanti o, più precisamente, i cui spettri contengono sottoinsiemi equidistanti. La classe di hamiltoniani include oscillatori armonici, campi quantistici, sistemi di spin, insiemi di oggetti identici, e molti altri. Di recente il ruolo di Hamiltoniane del tipo di oscillatore armonico ha dimostrato di essere rilevante per le dinamiche di un mercato azionario [11]. A lineari dinamica Hamiltoniana di ? è data dalla equazione di von Neumann i ? ? = ??, (1) con ?? = [H, ?]. L'equazione (1) può essere considerata anche come una rappresentazione astratta di un oscillatore armonico. Un oscillatore che si verifica in molte applicazioni nelle scienze biologiche è però l'oscillatore non lineare [12], la cui versione astratta legge i ? ? = S j ? j f j (?). (2) L'equazione 'generico', che è la base della nostra analisi è quindi la von Neumann-tipo equazione i ? ? = S j [H j , F j (?)]. (3) L'indice j è responsabile per la possibilità di avere diverse parti del sistema che diversamente interagire attraverso l' feedback. Per motivi di semplicità in questo lavoro limitare l'analisi a un solo H ed un unico f: i ? ? = [H, f (?)]. (4) Le uniche ipotesi che facciamo su F è che si tratta di una funzione di operatore standard nel senso accettato in spettrale teoria degli operatori autoaggiunti, e che dovrebbe essere lineare, in assenza di feedback. Esempio non banale soddisfare tutti i requisiti di cui sopra è un polinomio arbitrario f (?) = a 0 + Un 1 ? +. . . + Un n ? n . (5) II. RISPETTO AI MODELLI reazione-diffusione I modelli tipici di reazione-diffusione sono della forma [13,14] i ? X = ?X + ? 1 f (X) (6) dove ? = A ? 2 , E A e ? 1 sono, in generale complessi, matrici e X, f (X) sono vettori. Casi particolari di (6) sono la Swift-Hohenberg, ? - ?, e Ginzburg-Landau modelli [15-18]. Per illustrare che tipo di modelli arriviamo a considerare la non linearità quadratica f (?) = ? 2 e l'armonica oscillatore hamiltoniana H = S 8 n = 0 n | n> <n |. Nel caso più semplice di un oscillatore armonico unidimensionale nostra non lineare von Neumann equazione i ? ? = [H, ? 2 ] Legge nello spazio posizione i ? ? (x, y) = (- ? 2 x + ? 2 y + X 2 - Y 2 ) ? dz? (x, z) ? (z, y). (7) Così anche i casi più semplici portano piuttosto complicate equazioni non lineari integro-differenziali parziali. Il no-feedback condizione implica ? (x, y) = ? (x) ¯ ? (y), ? dz ¯ ? (z) ? (z) = 1, e l'equazione può essere separato ottiene il Schrodiger equazione i ? ? (x) = (- ? 2 x + X 2 + Const) ? (x). (8) L'equazione di Schrodinger può essere considerata come una equazione di diffusione nel tempo complessa. Analogamente, il non lineare von Equazioni Neumann possono essere mappati in tipo equazioni di diffusione, sostituendo t da essa, o ammettendo non Hermitiana H j . Le tecniche Darboux che stiamo usando non sono limitati agli operatori hermitiani. Le soluzioni di auto-switching discussi di seguito corrispondono a certi ? (x, y) = ? (x) ¯ ? (y). I 'modelli' troviamo in esempi espliciti sono illustrati dagli densità di probabilità p t, x = <X | ? t | X> = ? t (X, x). (9) 2
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III. ENTI IN AMBIENTI Consideriamo due spazi di Hilbert: H E descrivendo un 'ambiente' e attraversato da vettori | E>, e H e descrivere un 'Entità' e attraversato da vettori | e>. 'Ambiente + entità' Il sistema composito è rappresentato sia da un vettore di stato | ?> = S E, e ? Ee | E, e> = S E, e ? Ee | E> ? | E> (10) o da una matrice densità ? = S Ee ee ? Ee ee | E, e> <E, e | (11) Assumendo che tutti i valori di aspettazione di variabili aleatorie sono rappresentati in termini di medie quantistica possiamo scrivere <A> ? = <? | A | ?> (12) oppure <A> ? = Tr ?A. (13) Di particolare interesse sono medie che rappresentano determinate quantità statistiche associate solo con le entità, vale a dire di il modulo <I ? A e > ? = <? | I ? A e | ?> = Tr e ? e A e (14) oppure <I ? A e > ? Tr = ? (I ? A e ) = Tr e ? e A e . (15) La ridotta densità ? matrici e sono definite, rispettivamente, da ? e = Tr E | ?> <? | = S Eee ? * Ee ? Ee | E> <e | (16) oppure ? e = Tr E ? = S Eee ? Eeee | E> <e | (17) In particolare, per gli stati di prodotto, cioè quelli della forma | ?> = S E, e ? E f e | E, e> = | ?> ? | f> (18) oppure ? = S Ee ee ? EE s ee | E, e> <E, e | = ? ? s (19) le matrici di densità ridotta sono, rispettivamente, ? e = Tr E | ?> <? | = | f> <f | (20) e ? e = Tr E ? = s. (21) In tal caso si dice che l'entità è correlata con l'ambiente, cioè probabilità di eventi associati l'entità indipendenti di tutti gli eventi associati con l'ambiente. Membri di sistemi compositi sono di una forma di prodotto se e solo se le entità non sono correlati con gli ambienti. Interazioni di entità con ambienti distruggono le forme di prodotto e introducono correlazioni. Matrici di densità ridotta corrispondenti correlazioni non banali soddisfano la condizione 3
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? 2 e = ? e . (22) Qualsiasi matrice densità ? è hermitiana e positivo. Dal teorema spettrale segue che esiste una base tale che ? è diagonale. Per esempio, qualsiasi matrice densità di un'entità può essere scritto in qualche base come ? e = S e p e | E> <e | (23) Consideriamo ora un vettore | ?> = S e v p e | ? e > ? | E> (24) dove | ? e > ? H E sono dei vettori ortonormali appartenenti allo spazio di Hilbert dell'ambiente e | e> sono il autovettori di ? e . Allora Tr E | ?> <? | = S e p e | E> <e |. (25) In altre parole, per ogni matrice densità ? e si può trovare una condizione del sistema composito garantendo che il suo ridotto matrice densità è identico a ? e . Nel seguito vedremo dunque supporre che un dato iniziale ? e è il risultato di correlazioni dell'ente con l'ambiente. Se ? 2 e = ? e allora le correlazioni non sono banali. IV. RISPOSTE CON L'AMBIENTE I sistemi tipici discussi nella letteratura biofisica coinvolgono non linearità date da funzioni non polinomiali f. Si incontrano spesso Hill e le altre funzioni che sono continue approssimazioni funzioni passo. Un semplice unidimensionale modello di reazione-diffusione descrivendo esperimenti sulla rigenerazione e il trapianto in un'idra coinvolge non linearità con poteri positivi e negativi [19]. L'ambiente qui è modellato da due densità che descrivono concentrazione di attivatore e inibitore di cellule che producono. Essenziale per il modello è la rottura di simmetria del due densità, un fatto di contabilità per lo sviluppo non simmetrico di Idra. Modelli più raffinati [20] non hanno bisogno imposto dall'esterno disomogeneità ma coinvolgere gli ambienti che fungono da sostanze chimiche attive. L'obiettivo di complicata comportamenti di feedback è rendere conto della simmetria osservata rottura dello sviluppo di idra senza bisogno di mettendo gli elementi non simmetrici a mano. Un primo analogo quantistico di sistemi dinamici biofisici è un 'generale' non lineare von Neumann equazione (4) [21,22]. Se f è quello di rappresentare un feedback, l'effetto non lineare deve scomparire se l'entità non è correlata con la ambiente. Supponendo l'intero sistema è rappresentato da un vettore di stato | ?>, la mancanza di correlazioni implica che | ?> = | ?> ? | f> e ? e = | F> <f |. Tale matrice densità ridotta soddisfa ? 2 e = ? e . La condizione 'correlazioni no, no retroazione 'è formalmente tradotta in [H, f (?)] = [H, ?] se ? 2 = ?. (26) Notiamo che la limitazione di cui sopra significa che ? e = | F> <f | soddisfa un'equazione che è equivalente a i | ? f> = H | f>. (27) Quest'ultima è una equazione generale Schrodinger lineare. In assenza di retroazione dell'entità evolve secondo l' regole della meccanica quantistica, un assunto che è piuttosto generico e debole. La struttura dispone anche di un'altra interpretazione, che è del tutto 'classico'. Si consideri un sistema costituito da N classica oscillatori armonici con frequenze ? 1 ,. . . ? N . Indichiamo con H la matrice diagonale diag (? 1 ,. . ., O N ) E da | f> una vettore colonna con voci f k = Q k + Ip k . Poi (27) è equivalente al sistema di equazioni classiche ? q k = O k p k , ? p k =-O k q k . Come conseguenza, la descrizione proponiamo può essere estesa anche a sistemi classici che sono pienamente modellato da ensemble di oscillatori che evolvono linearmente e in modo indipendente, in assenza di un feedback. Ora, quali sono le restrizioni imposte da f (26)? Come abbiamo detto prima, un generale della matrice densità ha una forma ? e = S e p e | E> <e |, dove p e sono le probabilità. Il teorema spettrale implica che f (? e ) = S e f (p e ) | E> <e |. (28) 4
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La condizione ? 2 e = ? e implica che p 2 e P = e soluzioni di cui sono 0 e 1. Quindi (26) è soddisfatta da ogni f che soddisfa f (0) = 0 e f (1) = 1. Nei calcoli pratici è possibile rilassarsi (26), richiedendo solo [H, f (?)] ~ [H, ?] se ? 2 = ? (29) allora avendo (29) si può sempre Reparametrize variabile tempo t in modo che (26) è soddisfatta. Il polinomio menzionato nell'Introduzione appartiene a questa categoria di appartenenza. L'equazione (4) possiede una serie di interessanti proprietà generali. Per esempio, le quantità h = Tr Hf (?) (30) c n = Tr (? n ), (31) per tutti naturale n, sono a tempo indipendente. h è la funzione Hamiltoniana per la dinamica e, quindi, svolge il ruolo dell'energia media dell'entità (l'energia retroazione incluso). Una situazione analoga si verifica in nonextensive statistiche dove h ha una interpretazione di energia interna [22,36]. Un sistema con h conservata è chiuso. Conservazione di c n implica che gli autovalori di ? sono conservati. Quest'ultima proprietà significa che ci sono alcune caratteristiche del sistema che si verificano con probabilità indipendenti temporali. Tuttavia, e questo è molto importante, l' dispone di se stessi cambiare nel tempo in un modo che è piuttosto inusuale in sistemi fisici e ha molte analogie in evoluzione dei sistemi biologici. V. MORFOGENESI SOLITON Esiste una classe di soluzioni di (4) che espone una sorta di effetto di commutazione a tre regime [23-25]: Per tempi - 8 <t «t 1 la dinamica sembra come se non ci fosse retroazione, quindi nel regime di commutazione t 1 <T <t 2 un 'improvvisa' transizione avviene che aziona il sistema in un nuovo stato che per tempi t 2 «T <8 evolve nuovo come se ci era alcun feedback. Naturalmente, il feedback è presente per tutti i tempi, ma è 'visibile' solo durante il periodo di commutazione. Formalmente l'effetto è molto simile alla diffusione tra due evoluzioni asintoticamente lineari ('auto-dispersione'). Uno può complicare ulteriormente la dinamica introducendo un elemento esterno che rende la forma del feedback dipendente dal tempo. Noi illustrare l'effetto su esempi espliciti. L'equazione generale (4) appartiene alla famiglia delle equazioni integrabili con metodi solitoni. Si comincia con la sua rappresentazione di Lax z ? <? | = <? | (? - ?H), (32) -I < ? ? | = 1 ? < ? | f (?). (33) La costruzione richiede due coppie di Lax supplementari z ? <? | = <? | (? - ?H), (34) -I <? ? | = 1 ? < ? | f (?), (35) z µ | F> = (? - µH) | f>, (36) i | ? f> = 1 µ f (?) | f>. (37) Il metodo di soluzione (4) si basa sul seguente teorema istituisce la covarianza Darboux del Lax coppia (32), (33) [25]. Teorema Supponiamo <? |, <? | e |. F> sono soluzioni di (32), (33), (34) - (37) e <? 1 |, ? 1 , Sono definiti da <? 1 | = <? | (1 + ? - µ µ - ? P), (38) ? 1 = (1 + µ - ? ? P) ? (1 + ? - µ µ P), (39) P = | f> <? | <? | f> . (40) Allora 5
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z ? <? 1 | = <? 1 | (? 1 - ?H), (41) -I < ? ? 1 | = 1 ? < ? 1 | F (? 1 ), (42) I ? ? 1 = [H, f (? 1 )]. (43) Notiamo che il teorema è valido anche per i non-Hermitiana H, vale a dire per i sistemi aperti. Tuttavia, nel presente lavoro si limita l'analisi te per sistemi chiusi (conservatore) chracterized da autoaggiunto H. Sistemi la cui popolazione media non cambia appartengono a questa classe. Una delle strategie di trovare le 'soluzioni di switching "è il seguente. Si comincia con una soluzione ? seme tale che l'operatore ? un : = F (?) - a?, (44) dove [a, h] = [a, ?] = 0, soddisfa [? un , H] = 0 e ? un non è un multiplo della identità. Ora possiamo scrivere i ? ? = [H, f (?)] = a [H, ?] (45) e ? (t) = e -IaHt ? (0) e iaHt . (46) Prendendo le coppie di Lax con µ = ¯ ? e ripetendo la costruzione di [23,24], si ottiene ? 1 (T) = e -IaHt (? (0) + (¯ ? - ?) F un (T) - 1 e -I ? un t / ¯ ? [| ? (0)> <? (0) |, H] e i ? un t / ? ) E iaHt , (47) dove F un (T) = <? (0) | exp (i ¯ ? - ? | ? | 2 ? un t) | ? (0)> e <? (0) | è una condizione iniziale per la soluzione della coppia Lax. VI. MUTAZIONE 'improvviso' DELLA POPOLAZIONE Nel nostro primo esempio consideriamo la non linearità quadratica f (?) = (1 - h) ? + h? 2 . Il parametro h controlla l' forza del feedback. Tuttavia, per qualsiasi he qualsiasi matrice densità ? soddisfacendo 2 = ? troviamo f (?) = ? e la retroazione svanisce. Ciò è coerente con la nostra ipotesi che ? 2 = ? caratterizza i sistemi che non interagiscono con un ambiente. Prendiamo l'Hamiltoniana H = S 8 n = 0 n | n> <n |, che possono rappresentare un sistema la cui energia è proporzionale al numero dei suoi elementi. Soluzioni della equazione di von Neumann sono generalmente di dimensione infinita ma al fine di illustrare la morfogenesi restringiamo l'analisi ad una dimensione finita. La dimensione minima in cui l'effetto si verifica è 3. Quindi selezioniamo un sottospazio generato da tre vettori successivi | k>, | k + 1>, | k + 2>. Noi discuterà una famiglia, parametrizzata da a ? R, di auto-switching soluzioni ? t = S 2 m, n = 0 ? mn | K + m> <k + n | di (4). Gli soluzione viene completamente caratterizzato dalla matrice di coefficienti tempo-dipendente ? mn . Qui diamo solo la finale provocare e rimandare una derivazione dettagliata a Sez. VIII, in cui si analizza una generalizzazione che coinvolge un numero maggiore di 'specie'. Il lettore può verificare da una sostituzione semplice che la matrice ? ? ? 00 ? 01 ? 02 ? 10 ? 11 ? 12 ? 20 ? 21 ? 22 ? ? = 1 15 + v 5 ? ? 5 ? (t) ? (t) ¯ ? (t) 5 + v 5 ? (t) ¯ ? (t) ¯ ? (t) 5 ? ? (48) con ? (t) = ( 2 + 3 i - v 5 i) v 3 + v 5 a v 3 (e ?t + ? 2 e -Gt ) e i? 0 t , ? (t) = - 9 e 2 ?t + (1 + 4 v 5 i) a 2 3 (e 2 ?t + ? 2 ) e 2 i? 0 t è infatti una soluzione della equazione von Neumann. I parametri sono ? 0 = 1 - 5 + v 5 15 + v 5 h, ? = 2 15 + v 5 h. 6
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Esiste un valore critico h 0 = 15 + v 5 5 + v 5 corrispondente a ? 0 = 0. Usando la posizione esplicita dipendenza gli autostati della hamiltoniana dell'oscillatore armonico possiamo fare un grafico che illustra la dipendenza temporale del densità di probabilità p t, x nello spazio posizione in funzione del tempo e h. Le dinamiche che incontriamo in questo esempio è particolarmente suggestiva per h = h 0 (Fig. 1) e assomiglia una mutazione dell'ensemble statistico descritto da ?. La corrispondente probabilità appare statica per, circa, - 8 <t <- 40 e poi anche per 40 <t <8. La commutazione è 'improvvisamente' innescato in un intorno di t = 0. Fig. 2 mostra l'evoluzione della densità di probabilità p all'origine t, 0 come funzione del tempo per diversi valori di h. Per h = h 0 la probabilità densità è una funzione oscillante di tempo, ma in prossimità di t = 0 si osserva la 'mutazione' che si verifica per ogni h = 0, più lungo è il periodo di transizione il più piccolo h. Durata del processo di commutazione è dell'ordine di 1 / h. Per h = 0 la dinamica è lineare (senza feedback) e non vi è nessuna commutazione. L'esempio mostra che si verifica una sorta relazione di incertezza tra la forza del feedback e durata della commutazione: minore è il feedback più lungo è il periodo di commutazione. Notiamo che la densità di probabilità mostrata in fig. 1 ha questa forma particolare in quanto abbiamo usato il funzioni d'onda posizione spazio-caratteristici di un quanto un oscillatore armonico unidimensionale (una gaussiana volte Hermite polinomi). Se avessimo scelto qualsiasi altro sistema che è isospettrali ad un oscillatore armonico unidimensionale (O qualsiasi altro sistema con spettro equidistanti, diciamo, un oscillatore armonico 3D) avremmo ottenuto una forma diversa della densità di probabilità. Sebbene diverse scelte di H implica equazioni differenziali differenti, la loro caratteristica comune è la EFF di 'mutazione'. VII. ENTI COMPOSITE: nascita e morte di un organismo In questo esempio consideriamo un organismo, cioè di una entità composita che subisce il processo di retroazione da complesso. Un modello semplice consiste in un sistema a due qubit descritto dalla hamiltoniana H = H 1 ? 1 + 1 ? H 2 . (49) L'hamiltoniano non contiene un termine di interazione. Tuttavia, i due sottoentità che formano la 'organismo' non lo fanno evolvere in modo indipendente. Sono accoppiate tra loro attraverso il feedback con il envirinment, cioè attraverso la non linearità. Come vedremo, diventano asintoticamente uncoulped a t ? ± 8. In un 'lontano passato' del sistema consiste sottoentità non correlati, che, dopo un periodo di alcuni attività congiunta, diventare di nuovo non correlato alla futuro. Un'analogia con la 'nascita' e 'morte' è impressionante, e giustifica il nome di 'organismo'. Per rendere l'esempio concreto si supponga che H = 2 s x ? 1 + 1 ? s z (50) Inizieremo con la matrice di densità non normalizzata ? (0) = 1 2 ? ? ? ? 5 + v 7 0 0 0 0 5 - v 7 0 0 0 0 5 + v 15 0 0 0 0 5 - v 15 ? ? ? ? (51) che viene scritto in tale base che H = ? ? ? 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 - 1 2 0 0 2 - 1 ? ? ? . (52) La matrice densità ? (t) = exp [- 5 IHT] ? (0) exp [5 IHT] (53) è una soluzione di (4) con f (?) = ? 2 . Tale ? (t) descrive simultaneamente una dinamica di due sistemi non interagenti soddisfacendo l'equazione lineare von Neumann i ? ? = 5 [2 s x ? 1 + 1 ? s z , ?]. (54) Per capire perché questo happenes è sufficiente rilevare che la soluzione soddisfi 7
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[H, ? 2 ] = [H, 5 ?] = [5 H, ?]. (55) L'ambiente non attiva in questa soluzione ogni passaggio, ma solo rende la sua evoluzione cinque volte più veloce in assenza del feedback. La trasformazione Darboux quando applicata a ? (t) produce (per maggiori dettagli cfr. [23]) la soluzione ? 1 (T) = exp [- 5 IHT] ? int (T) exp [5 IHT] (56) dove ? int (T) = 1 2 ? ? ? ? ? 5 - v 7tanh 2 t 0 - 13 i-3 v 7 - v 15-i v 105 8 cosh 2 t - 7 i 3 v 7-3 v 15 + i v 105 8 cosh 2 t 0 5 + v 7tanh 2 t 15 i + v 7 - v 15-i v 105 8 cosh 2 t v 7 + v 15 2 cosh 2 t 13 i-3 v 7 - v 15 + i v 105 8 cosh 2 t - 15 i + v 7 - v 15 + i v 105 8 cosh 2 t 5 + v 15tanh 2 t 0 7 i 3 v 7-3 v 15-i v 105 8 cosh 2 t v 7 + v 15 2 cosh 2 t 0 5 - v 15tanh 2 t ? ? ? ? ? . (57) Ora il passaggio tra le due evoluzioni asintotici è innescato nel quartiere di t = 0. Se guardiamo i sottoentità che formano l'organismo ci accorgiamo che non evolvono in modo indipendente. Il più facile modo di vedere questo è calcolare le matrici densità ridotte dei due subentities. Qui si scrive esplicitamente il autovalori della matrice densità ridotta. Entrambi i sottosistemi sono bidimensionali così ci sono due autovalori per ogni matrice densità ridotta. Leggono p ± (1) = 1 2 ± v 15 - v 7 20 tanh 2 t, particella 1 (58) p ± (2) = 1 2 ± v 26 + 2 v 105 40 cosh2 t , Particella 2. (59) Le asintotica sono ? int (- 8) = 1 2 ? ? ? ? 5 - v 7 0 0 0 0 5 + v 7 0 0 0 0 5 - v 15 0 0 0 0 5 + v 15 ? ? ? ? , (60) ? int (+ 8) = 1 2 ? ? ? ? 5 + v 7 0 0 0 0 5 - v 7 0 0 0 0 5 + v 15 0 0 0 0 5 - v 15 ? ? ? ? = ? (0), (61) e quindi la dinamica rappresenta asintoticamente due sottoentità non interagenti. E 'anche interessante il fatto che il + 8 asintotica è ? 1 (T) ˜ ? (t). A grandi volte il 'organismo', che 'muore' diventa praticamente indistinguibile da quello che mai 'vissuto'. La 'vita' dell'organismo è il periodo di tempo in cui i due sottoentità esibiscono certa attività congiunta. Calcolo del von Neumann entropie di matrici densità ridotta dei due sottoentità possiamo introdurre una misura quantitativa di questa attività. Le entropie delle due particelle sono mostrati in fig. 3. L'organismo vive diverse unità di tempo. Simile sono le scale di tempo in cui gli elementi di matrice fuori diagonale di ? int (T) diventa non trascurabile. Va sottolineato che l'entropia che caratterizza l'intero organismo è indipendente dal tempo (dal autovalori di soluzioni di (4) sono costanti di movimento per tutti f). Anche se è chiaro che il 'organismo' si comporta durante l'evoluzione come una entità indivisibile, non si deve confondere questo indivisiblility con la cosiddetta nonseparability discusso nella teoria dell'informazione quantistica. L'organismo consideriamo l'esempio è un sistema a due qubit, e quindi si può controllare la separabilità di ? 1 (T) mediante il criterio Peres-Horodecki parziale recepimento [26,27]: A due qubit matrice densità ? è separabile se e solo se il suo recepimento parziale è positivo. Si scopre che il recepimento parziale di ? 1 (T) è positivo per ogni t e, quindi, ? 1 (T) è in questo senso separabile (ha 'entanglement zero'). È noto, tuttavia, che 'entanglement zero' non significare "no correlazioni quantistiche 'nel sistema. La cosiddetta a tre particelle GHZ Stato [28] è pienamente invischiato in livello di tre particelle nonostante il fatto che tutti i suoi sottosistemi due particelle sono descritti da matrici di densità separabili. 8
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VIII. MODELLO CON DIVERSE SPECIE I modelli che abbiamo considerato finora corrispondevano ad uno spazio di Hilbert con vettori di base | n>. L'unica caratte- rizzazione di uno stato era in termini di numero quantico n che potrebbe essere considerata come il numero di elementi di un data popolazione. Ora vogliamo estendere la descrizione della situazione in cui abbiamo una popolazione composta da diverse specie caratterizzate da numeri n 1 ,. . . , N N . Vettori di base sono | N> = | n 1 ,. . ., N N > = | N 1 > ?. . . ? | n N > (62) e l'Hamiltoniana H = S n j (N 1 +. . . + N N ) | N 1 ,. . . , N N > <N 1 ,. . . , N N | (63) = S n E n | N> <n |. (64) L'Hamiltoniana ha equidistanti spettro ed è formalmente molto simili a quelle che abbiamo incontrato nel sezioni precedenti. La differenza è che ora gli autostati di energia sono altamente degenerati, una proprietà che è molto utile dal punto di vista della costruzione multi-parametro e soluzioni self-switching di dimensioni superiori. Per semplicità considerano due specie (n = 2), la non linearità quadratica f (?) = (1 - h) ? + h? 2 , e prendere un po 'di energia tre autovalori E k , E k + m , E k 2 m . Per ogni energia prendere l + 1 vettori, che saranno denotati da | 0 j > = | K - j, j>, (65) | 1 j > = | K + m - j, j>, (66) | 2 j > = | K + 2 m - j, j>, (67) j = 0, 1,. . . L = k. Si comincia con la matrice densità normalizzata ? (0) = l S j = 0 ? j (0) (68) dove ? j (0) = un 2 ( | 0 j > <0 j | + | 2 j > <2 j |) + una + v un 2 + 4 (b - m 2 ) 2 | 1 j > <1 j | - v una 2 + 4 b 2 (| 2 j > <0 j | + | 0 j > <2 j |). (69) Positività di ? j (0) limita i parametri come segue: 0 <4 m 2 <A 2 + 4 b <a 2 . L'operatore ? un = ? (0) 2 - A? (0) = b ~ I - m 2 l S j = 0 | 1 j > <1 j | (70) commuta con H. Indichiamo con ~ I e ~ H le restrizioni della identità I e H per la 3 (l +1)-dimensionale sottospazio attraversato da (65) - (67). Scriveremo ~ H = S l j = 0 H j , Dove H j = 2 S n = 0 (K + nm) | n j > <N j |. (71) Consideriamo il problema agli autovalori (? j (0) - IH j ) | F j > = Z | f j >. (72) Troviamo che le due soluzioni 9
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| F (1) j > = - 2 im + v un 2 + 4 (b - m 2 ) v 2 v un 2 + 4 b | 0 j > + 1 v 2 | 2 j > (73) | F (2) j > = | 1 j > (74) corrispondere allo stesso autovalore j-indipendente z = una + v un 2 + 4 (b - m 2 ) 2 + (K + m) i (75) e perciò (? (0) - IH) | f> = z | f>. (76) con la stessa z per qualsiasi | F> = l S j = 0 (? j | F (1) j > + ? j | F (2) j >). (77) La soluzione autonoma commutazione può quindi essere costruito mediante | f> e legge ? 1 (T) = e -I (1 + h (a-1)) Ht (? (0) + 2 iF un (T) - 1 e -H ? un t [| F> <f |, H] e -H ? un t ) E i (1 + h (a-1)) Ht , (78) con F un (T) = <f | exp (- 2 h ? un t) | f> = e - 2 HBT l S j = 0 (| ? j | 2 + E 2 hm 2 t | ? j | 2 ) = E - 2 HBT (| ? | 2 + E 2 hm 2 t | ? | 2 ). (79) Probabilità analoghe alla fig. 1 sono trovati se a e h sono sintonizzati in modo da eliminare la parte oscillante e -I (1 + h (a-1)) Ht , Cioè per h = 1 / (1 ??- a). In questo caso ? 1 (T) = ? (0) 2 + i (| a | 2 + E 2 m 2 t / (1-a) | ? | 2 ) - 1 l S j, j = 0 [(? j | F (1) j > + ? j e m 2 t 1-a | F (2) j >) (¯ a j <F (1) j | + ¯ ß j e m 2 t 1-a <F (2) j |), H] (80) I vettori | F j (T)> = a j | F (1) j > + ? j e m 2 t 1-a | F (2) j > = | F j (T)> ? | j> (81) dove | F j (T)> = a j v 2 ( - 2 im + v un 2 + 4 (b - m 2 ) v una 2 + 4 b | K - j> + | k + 2 m - j>) + ß j e m 2 t 1-a | K + m - j> (82) sono ortogonali per diverso j. Indicando H = H 1 ? I + I ? H 2 si può facilmente calcolare la matrice densità ridotta la prima specie, ? I 1 (T) = Tr 2 ? 1 (T) = ? I (0) 2 + i (| a | 2 + E 2 m 2 t / (1-a) | ? | 2 ) - 1 [ l S j = 0 | F j (T)> <f j (T) |, H 1 ]. (83) L'intera informazione sulla dinamica della prima specie è codificato in ? I 1 (T). Cambiamenti delle proprietà delle specie sono date dagli elementi di matrice <N | ? I 1 (T) | n> = <n | ? I (0) | n> 2 + i (n - n) S l j = 0 <N | f j (T)> <f j (T) | n> | ? | 2 + E 2 m 2 t / (1-a) | ? | 2 . (84) Una conclusione immediata della formula di cui sopra è che per n = n l'espressione è indipendente dal tempo. Ne consegue che il numero di elementi del complesso non cambia durante l'evoluzione. Quali cambiamenti sono alcune proprietà dell'ensemble. 10
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A. Esempio: k = m = 1, j = 0, 1, a = 5, b = - 4 Gli stati di due specie nel sottospazio in questione sono | 0 0 > = | 1, 0>, (85) | 1 0 > = | 2, 0>, (86) | 2 0 > = | 3, 0>, (87) | 0 1 > = | 0, 1>, (88) | 1 1 > = | 1, 1>, (89) | 2 1 > = | 2, 1>. (90) La matrice densità del seme iniziale di due specie è data da ? 0 (0) = 5 2 ( | 1, 0> <1, 0 | + | 3, 0> <3, 0 |) + 5 + v 5 2 | 2, 0> <2, 0 | - 3 2 ( | 3, 0> <1, 0 | + | 1, 0> <3, 0 |), (91) ? 1 (0) = 5 2 ( | 0, 1> <0, 1 | + | 2, 1> <2, 1 |) + 5 + v 5 2 | 1, 1> <1, 1 | - 3 2 ( | 2, 1> <0, 1 | + | 0, 1> <2, 1 |), (92) ? (0) = ? 0 (0) + ? 1 (0). (93) Assumere a 0 = ? 1 = 1 / v 2, ß 0 = E t 0 / 4 , ? 1 = E t 1 / 4 . Allora | F 0 (T)> = 1 2 ( - 2 i + v 5 3 | 1> + | 3>) + e (T 0 -T) / 4 | 2>, (94) | F 1 (T)> = 1 2 ( - 2 i + v 5 3 | 0> + | 2>) + e (T 1 -T) / 4 | 1> (95) Scrivere la restrizione di H al sottospazio 6-dimensionale ~ H = ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 ? ? ? ? ? ? ? (96) possiamo rappresentare il due specie matrice densità ? 1 nella forma ? 1 = ? ? ? 5 2 1 2-i v 5 3 ? - 3 2 1 + 2-i v 5 3 ? 2 + i v 5 3 ? T 5 + v 5 3 1 i? T - 3 2 1 + 2 + i v 5 3 ? -I? 5 2 1 ? ? ? (97) dove 1 è la matrice 2 × 2 unità, T denota il recepimento e ? (t) = e t / 4 e t / 2 + E t 0 / 2 + E t 1 / 2 (E t 1 / 4 e t 0 / 4 e t 1 / 4 e t 0 / 4 ) (98) ? (t) = e t / 2 e t / 2 + E t 0 / 2 + E t 1 / 2 (1 1 1 1) . (99) Si può verificare con calcoli semplici che (h = - 1 4 ) I ? ? 1 = 5 4 [H, ? 1 ] - 1 4 [H, ? 2 1 ]. (100) Per illustrare la variazione nel tempo della quantità statistiche associate al sistema a due specie è sufficiente visualizzare il comportamento degli elementi di matrice di ? 1 . Ci sono solo tre tipi di funzioni che si verificano in ? 1 : 11
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F (t) = e t / 2 e t / 2 + E t 0 / 2 + E t 1 / 2 , (101) F 0 (T) = e (T + t 0 ) / 4 e t / 2 + E t 0 / 2 + E t 1 / 2 , (102) F 1 (T) = e (T + t 1 ) / 4 e t / 2 + E t 0 / 2 + E t 1 / 2 . (103) I due parametri t 0 , T 1 , Controllo di due tipi di comportamenti a tre-regime di ? 1 . La funzione F è responsabile proprietà asintotiche di ? 1 (Via ?). Funzioni F 0 , F 1 determinare le proprietà del regime di commutazione (via ?). Per t 0 «T 1 si trova F 0 (T) ˜ 0 per ogni t e la commutazione è controllata da F (t) e F 1 (T), il 'momento' di commutazione viene spostato proporzionalmente t 1 . Per t 0 »T 1 si trova F 1 (T) ˜ 0 per ogni t e la commutazione è controllata da F (t) e F 0 (T); 'momento' di switching non dipende da t 1 ed è determinata da t 0 . Pertanto i due tipi di interruttori sono caratterizzato da annullarsi di quegli elementi di matrice ? 1 che contenere o F 0 o F 1 . Il comportamento asyptotic del sistema è data da F 0 (± 8) = F 1 (± 8) = F (- 8) = 0, (104) F (+ 8) = 1. (105) Le matrici densità ridotte di singole specie sono ? I 1 = ? ? ? ? ? 5 2 2-i v 5 3 F 1 - 3 2 + 2-i v 5 3 F 0 2 + i v 5 3 F 1 5 + v 5 2 2-i v 5 3 F 0 + IF 1 - 3 2 + 2-i v 5 3 F - 3 2 + 2 + i v 5 3 F 2 + i v 5 3 F 0 - IF 1 5 + v 5 2 iF 0 0 - 3 2 + 2 + i v 5 3 F -IF 0 5 2 ? ? ? ? ? (106) ? II 1 = ( 15 + v 5 2 2-i v 5 3 F 1 + IF 0 2 + i v 5 3 F 1 - IF 0 15 + v 5 2 ). (107) Naturalmente, tutte le matrici di densità non sono normalizzati in modo che le medie devono essere calcolate in base a <A> =Tr A? 1 / Tr ? 1 , Ecc (si noti che Tr ? 1 è indipendente dal tempo). IX. MORFOGENESI di complementarità Secondo il 'SSC teorema' [30,31] una matrice densità ? è univocamente determinata da correlazioni tra tutte lepossibili proposizioni associate a un dato sistema. Ogni elemento della matrice di un ? può essere data una interpretazione intermini di probabilità associate a qualche proposizione. In lingua spazio di Hilbert di una proposizione è un proiettore, cioè un operatore con autovalori 1 e 0 (logico 'true' e 'false'). Proposizioni che possono essere richieste contemporaneamente sono rappresentati da pendolarismo proiettori. Proposizioni P 1 , P 2 che non fare i pendolari sono legati da una incertezza relazione: più si sa di P 1 il meno è conosciuto circa P 2 , E viceversa. È ovvio che le strutture di cui sopra non devono essere associati a sistemi quantistici. Solo per fare un esempio, molti test psicologici si basano su questionari che comportano la stessa domanda molte volte in diverse contesti. Le domande pendolari se la risposta ad una data domanda è sempre la stessa. Tuttavia, in situazioni tipiche la stessa domanda ha risposte diverse all'interno di un unico questionario. Un questionario ideale coinvolge tutto il possibile domande in tutti gli ordini possibili. Nello spazio di Hilbert formalismo, se le questioni sono rappresentati da proiettori, un questionario ideale codifica tutti i possibili correlazioni e, quindi, tramite il teorema SSC, è equivalente ad una matrice densità. E 'noto anche che esistono semplici esempi di sistemi la cui logica è non-booleano, ma che non consentono una formulazione spazio di Hilbert [29]. Il linguaggio di matrice densità probabilmente non basterà qui e si deve ammettere un possibilità di altri spazi di stato e altre evoluzioni non lineari. La ricchezza di strutture a disposizione è immenso. Facciamo finalmente dare esempi di proposizioni i cui valori medi (ossia probabilità) il cambiamento nel tempo secondo selezionato elementi di matrice delle soluzioni di auto-switching. La funzione F ( t ) mostrato in fig. 4 è associato con la proposizione P = 1 2 ? ? ? 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 ? ? ? (108) 12
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corrispondente alle prime specie come segue p ( t ) =Tr P? I 1 ( t )Tr ? I 1 ( t ) = 1 4 9 + v 5 + 8 F ( t ) / 315 + v 5 . (109) Qui p ( t ) è la probabilità che la risposta e 'vero' associata a P . Analogamente F 1 ( t ) mostrata in fig. 5 è associatocon la proposizione P 1 = 1 2 ? ? ? 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ? ? ? (110) per mezzo di p 1 (T) = Tr P 1 ? I 1 ( t )Tr ? I 1 ( t ) = 1 4 15 + v 5 + 8 F 1 ( t ) / 315 + v 5 . (111) L'evoluzione delle probabilità assomiglia evoluzioni note tipicamente modellati da funzioni Hill [12] in i cosiddetti modelli di risposta sigmoidali [32-35,37]. Deviazioni quadrati associati alle due proposizioni soddisfano la relazione di indeterminazione ? P ? P 1 = 1 2 | | | Tr [ P, P 1 ] ? I 1 ( t )Tr ? I 1 ( t ) | | | = | | | v 5 ( e t / 2 + E ( t + t 0 ) / 4) - (3 + v 5) e ( t + t 1 ) / 412 (15 + v 5) ( e t / 2 + E t 0 / 2 + E t 1 / 2 ) | | | . (112) Per ogni fissato t 0 , T 1 , La destra-lato della disuguaglianza annulla per t ? - 8 e approcci v 5 / [12 (15 + v 5)] pert ? + 8 . Fig.6 mostra questa funzione per t 1 = 0. Le due proposizioni che non erano complementari in passato si evolvono in proposizioni che soddisfano una relazione di indeterminazione. In applicazione alla psicologia una matrice densità può rappresentare un questionario ideale e, di conseguenza, uno stato di personalità di un dato individuo. La morfogenesi abbiamo discusso è un semplice modello di sviluppo di due complementari concetti. Il modello è semplificato e forse troppo esagerato. Tuttavia, filosoficamente questo non è molto lontano dal approcci di Thom [1], e in particolare di Zeeman [38] nei loro modelli di teoria delle catastrofi di cervello. Più interessante in tale contesto possono essere dei casi in dimensione infinita la cui analisi preliminare in termini di trasformazioni Darboux per arbitraria f ( ? ) può essere trovata in [25].X. DISCUSSIONE Il modello di abbiamo descritto soddisfi le ipotesi imposte da Thom su un sistema di forme in evoluzione ([1] Capitolo 1.2.A). Il modello è continua e la morfogenesi è il risultato di dinamiche solitoni. A tale riguardo la costruzione è analoga a modelli non lineari di risposta sigmoidali utilizzati in biochimica [37]. Ciò che rende il nostro costruzione essenzialmente diverso dai modelli si trova nella letteratura è il ruolo del non-commutativa della sistema di proposizioni. Proposizioni non commutativa sono legati da principi incertezza e sono tipici dei sistemi che non può, senza una distruzione essenziale, essere separato in parti indipendenti. Gli esempi possono essere presi non solo dal quantum fisica, ma anche dalla sociologia (comunità), psicologia (personalità), o la biologia (gli organismi). In tutti questi casi la dinamica di un sistema costituito da due parti: una generato da interazioni interne, e l'altra corrispondenti giunti con l'ambiente. Abbiamo considerato solo il caso più semplice in cui la dinamica interna è data a priori da una Hamiltoniana di un tipo di oscillatore armonico, e diverse parti di un organismo (di comunità, ecc) sono accoppiati a tra di loro solo attraverso l'ambiente. L'accoppiamento con l'ambiente porta ad un feedback e, quindi, l'evoluzione non lineare. I sistemi che consideriamo sono conservatore, ma senza difficoltà può essere generalizzato a esplicitamente ambienti dipendenti dal tempo o non Hermition Hamiltoniani. Ci modello proposizioni da proiettori su sottospazi di uno spazio di Hilbert. Membri i sistemi sono rappresentati da tutte le possibili correlazioni tra tutti i possibili, anche non pendolarismo, proposizioni. La scelta del Hilbert linguaggio spazio ci porta quindi ad una rappresentazione a matrice densità degli stati, e la dinamica è data in termini non lineari di equazioni di von Neumann. Il formalismo permette di considerare morfogenesi di un nuovo tipo completamente, per esempio uno sviluppo delle proprietà complementari. 13
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La classe di soluzioni che ha una interpretazione in termini di morfogenesi ha caratteristiche che non siano in modo cruciale dipendere dalla forma della non linearità ma più la presenza stessa di un feedback. Il tempo esatto di sviluppo (ad esempio, durata) di morfogenesi non dipende dalle condizioni iniziali o la forma di non linearità. Tuttavia, le modifiche non influenzano il comportamento asintotico, che è l'elemento qualitativo della dinamica. Per esempio, un organismo che è 'nato' deve 'morire', ma quando e come sarà questa verifica dipende da molti dettagli che sono qualitativamente irrilevante. Invece di conclusioni citiamo considerazioni finali di Rene Thom dai suoi primi lavori su modelli topologici in biologia [39]: "Praticamente ogni morfologia può essere dato un tale interpretazione dinamica, e la scelta tra i possibili modelli può essere fatto, spesso, solo da appreciacion qualitativa e senso matematico di eleganza e di economia. Qui noi non trattare con una teoria scientifica, ma più precisamente con un metodo . E questo metodo non porta a specifichetecniche, ma, in senso stretto, ad un'arte di modelli . Ciò che può essere, in questo caso, la motivazione ultima di costruiretali modelli? Esse soddisfano, io credo, una necessità epistemologica molto fondamentale ... Se il progresso scientifico deve essere raggiunto anche con strumenti diversi puro caso e indovinare, si basa necessariamente su una comprensione qualitativa del processo di studiato. I nostri sistemi dinamici (...) ci forniscono uno strumento molto potente per ricostruire la dinamica di qualsiasi origine processo morfologico. Ci aiuteranno, spero, per una migliore comprensione della struttura di molti fenomeni di animare e inamite natura, e anche, credo, della nostra struttura ". RINGRAZIAMENTI Il lavoro di MC e MK è una parte del progetto KBN 5 P03B 040 20. Vorremmo riconoscere il sostegno del Fondo fiammingo per la ricerca scientifica (progetto FWO G.0335.02). -40 -20 0 20 40 t -2 0 2 x p t, x p t, x FIG. 1. La densità di probabilità p t, x = <x | ? t | X> per il valore critico h 0 = (15 +5 1 / 2) / (5 +51 / 2) In funzione del tempo e x per - 40 <t < 40 (in unità arbitrarie). Tre regimi sono chiaramente visibili. La probabilità interpola tra asintoticaprobabilità che sono costanti nel tempo. La commutazione visibile (morfogenesi) inizia intorno t = - 30 e dura circa30 unità di tempo. Per i tempi successivi la densità di probabilità diventa indistinguibile dal nuovo stato asintotico. 14
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-200 0 200 t 2.4 2.42 2.44 h p t, 0 -200 0 200 t FIG. 2. Densità di probabilità p t, 0in x = 0 come funzione del tempo e h per h 0 = h = 2 . 45. Per h> h 0 la commutazione intorno t = 0 si svolge tra due diverse densità di probabilità asintotiche oscillanti. La commutazione è assente solo per h = 0 (nonillustrata) dove la dinamica è lineare. -4 -2 2 4 t 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 entropia FIG. 3. Vita e morte dell'organismo a due qubit: i von Neumann entropie di particelle 1 (solido) e 2 (tratteggiato). Gli volte in cui le particelle sono praticamente indipendenti corrispondono alle parti piane delle trame. 15
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100 120 140 160 180 200 t 100 150 200 250 t 1 F 100 120 140 160 180 200 t FIG. 4. F ( t ) come funzione di t e t 1 per t 0 = 150. 100 120 140 160 180 200 t 100 150 200 250 t 1 F 1 100 120 140 160 180 200 t FIG. 5. F 1 ( t ) come funzione di t e t 1 per t 0 = 150. 16
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-20 -10 0 10 20 t -20 0 20 40 t 0 0 0.005 0.01 -20 -10 0 10 20 t FIG. 6. Morfogenesi di complementarità. La destra-lato della relazione di indeterminazione di deviazioni standard di ? P e? P 1 in funzione del tempo t ed il parametro t 0 (T 1 = 0). Proposizioni P e P 1 sono il più complementari maggiore è la valore di questa funzione. [1] R. Thom, Stabilità strutturale e morfogenesi: Compendio di una teoria generale dei modelli (Benjamin, Reading, 1975).[2] EG Beltrametti, G. Cassinelli, The Logic of Quantum Mechanics (Adison-Wesley, Reading, 1981).[3] D. Aerts, S. Aerts, "Applicazioni della statistica quantistica negli studi psicologici del processo decisionale", ha rilevato. Sc. 1 , 85 (1994). [4] L. Gabora, meccanismi cognitivi sottostanti l'origine e l'evoluzione della cultura , tesi di dottorato, CLEA, Bruxelles liberoUniversità (2001). [5] D. Aerts, B. Coecke, B. D'Hooghe, "una entità fisica macrofisico meccanicistico con uno spazio a tre dimensioni di Hilbert descrizione quantistica ", Helv. Phys. Acta 70 , 793 (1997).[6] D. Aerts, S. Aerts, J. Broekaert, L. Gabora, "La violazione delle disuguaglianze di Bell nel macromondo", Trovato. Phys. 30 , 1387 (2000). [7] EW Piotrowski, J. Sladkowski, "l'approccio Quantum-come a rischio finanziario: principio antropico Quantum", Acta Phys. Polon. B 32 , 3873 (2001).[8] D. Aerts, "Le teorie classiche e teorie non classici come un caso particolare di una teoria più generale", J. Math. Phys. 24 , 2441 (1983). [9] VP Belavkin, VP Maslov, "metodo uniformazione nella teoria non lineare hamiltoniano Vlasov e tipo Hartree sistemi ", teor. Math. Phys. 33 , 17 (1977).[10] S. Gheorghiu-Svirschevski, "non lineare evoluzione quantistica con la produzione di entropia massima", Phys. Rev. A 63 , 022.105 (2001). [11] J. Sladkowski, "Giffen paradossi quantistici giochi di mercato", cond-mat/0211083. [12] L. Vetro, MC Mackey, dagli orologi al Caos. I ritmi della vita (Princeton University Press, Princeton, 1988).[13] JD Murray, Nonlinear Differential Equation Models in Biologia (Clarendon, Oxford, 1977).[14] PC Fife, aspetti matematici di reagire e Sistemi di Diffusione , Lecture Notes in Biomatematica 28 (Springer, NewYork, 1979). [15] J. Swift, PC Hohenberg, "fluttuazioni idrodinamica alla instabilità convettiva", Phys. Rev. A 15 , 319 (1977).[16] LN Howard, N. Kopell, "lentamente variabili onde d'urto e le strutture nelle equazioni di reazione-diffusione", Stud. Appl. Math. 56 , 95 (1977).[17] VL Ginzburg, LD Landau, "Sulla teoria della superconduttività", Zh. EKSP. Teor. Fiz. 20 , 1064 (1950).[18] K. Stewartson, JT Stuart, "Una teoria non lineare instabilità di un sistema di onde in aereo flusso Poiseuille", J. Fluid Mech. 48 , 529 (1971).[19] A. Gierer, H. Meinhardt, "Una teoria della formazione di pattern biologico", Kybernetik 12 , 30 (1972). 17
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[20] W. Kemmner, "Un modello di testa di rigenerazione a Hydra", Differenziazione 26 , 83 (1984).[21] M. Czachor, "Nambu tipo generalizzazione dell'equazione di Dirac", Phys. Lett. A 225 , 1 (1997)[22] M. Czachor e J. Naudts, "fondamento microscopica delle statistiche nonextensive", Phys. Rev. E 59 , R2497 (1999)[23] SB Leble e M. Czachor, "Darboux-integrabile non lineare Liouville-von Neumann equazione", Phys. Rev. E 58 , 7091 (1998) [24] M. Czachor, HD Doebner, M. Syty, K. Wasylka, "Von Neumann equazioni con Hamiltoniane e tempo-dipendente supersymetric meachanics quantistica ", Phys. Rev. E 61 , 3325 (2000).[25] NV Ustinov, M. Czachor, M. Kuna, SB Leble, "integrazione di Darboux i ? P = [ H, f ( ? )] ", Phys. Lett.A 279 , 333 (2001).[26] A. Peres, "condizione di separabilità per le matrici di densità", Phys. Rev. Lett.. 77 , 1413 (1996).[27] M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki, "separabilità di stati misti: condizioni necessarie e sufficienti", Phys. Lett. A 223 , 1 (1996).[28] DM Greenberger, MA Horne, A. Shimony, A. Zeilinger, "il teorema di Bell, senza disuguaglianze", Am. J. Phys. 58 , 1131 (1990). [29] D. Aerts, "Una possibile spiegazione per le probabilità della meccanica quantistica", J. Math. Phys. 27 , 202 (1986)[30] S. Bergia, F. Cannata, A. Cornia, R. Livi, "Sulla misurabilità effettiva della matrice densità di un sistema in decomposizione da mediante misurazioni sui prodotti di decadimento ", presente. Phys. 10 , 723 (1980).[31] ND Mermin, "Che cosa è la meccanica quantistica cercando di dirci?", Am. J. Phys. 66 , 753 (1998).[32] C. Walter, R. Parker, M. YCAS, "Un modello per la logica binaria nei sistemi biochimici", J. teorica. Biol. 15 , 208 (1967).[33] L. Vetro, SA Kauffman, "Componenti di Co-operative, la localizzazione spaziale e le dinamiche cellulari oscillanti", J. teorica. Biol. 34 , 219 (1972).[34] L. Vetro, SA Kauffman, "L'analisi logica delle reti di controllo biochimiche non lineari continue", J. teorica. Biol. 39 ,103 (1973). [35] JJ Hopfield, DW Tank, "Computing con i circuiti neurali: un modello", Science 233 , 625 (1986).[36] C. Tsallis, RS Mendes, AR Plastino, "Il ruolo dei vincoli entro statistiche nonextensive generalizzate", Physica A 261 543 (1998).[37] SA Kauffman, The Origins of Order. Auto-organizzazione e di selezione in Evolution (Oxford University Press, Oxford, 1993). [38] Zeeman EC, "teoria delle catastrofi nella modellazione del cervello", Int. J. Neurosci. 6 , 39 (1973).[39] R. Thom, "modelli topologici in biologia", in Verso una biologia teorica , vol. 3, ed. CH Waddington (Aldine, Chicago,PER IL CONTROLLO DI Sistemi su larga scala (Con particolare riguardo al controllo di una centrale termica) Sintesi dei Ph.D. Tesi László Ormos Ingegnere meccanico Responsabile del progetto: Prof. István Ajtonyi, C.Sc. Direttore della Scuola di Dottorato: Prof. Tibor Tóth, D.Sc. Scuola di Dottorato "Hatvany József" di Scienza Miskolc-Egyetemváros 2004
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2 1. Introduzione Lo sviluppo tecnico nel settore industriale richiede una sintonia tra il processo controllato, il sistema di controllo e l'umano. Questa esigenza ha bisogno di un uso sicuro e veloce bidirezionale comunicazione che si basa sulle 'capacità' di partecipanti di sistema tecnologico. Questa volta, l'obiettivo dello sviluppo della produzione è di realizzare un breve periodo tecnologico con una qualità adeguata. Lo strumento per questo scopo è il controllo in tempo reale efficiente e preciso. Dotazioni tecniche tradizionali utilizzate in tempo reale attenzione il controllo di processo sulla precisione, la sicurezza, e velocità. Questi requisiti non includono la capacità di controllare estremamente veloce o processi estremamente lento. Processi tecnologici estremi coinvolti da sistemi tecnologici larga scala richiedono sorveglianza speciale. Causa delle caratteristiche estreme, tali processi possono verificarsi instabilità nella funzionamento del sistema su larga scala dalle seguenti: • processi estremamente veloci richiedono la raccolta di dati ad alta potenza e conversione di dati, Sistema di controllo di processo ad alta velocità con estremamente breve ciclo tempo reale, high capacità di calcolo, ed elevata capacità di memoria, • processi estremamente lenti richiedono una comunicazione continua con il processo di percepire i cambiamenti lenti e fine, la capacità di distinguere uno stato finito di processo da qualsiasi stato temporaneo di processo, e la capacità di riconoscere e valutare il eventi relativamente veloci breve tempo si sono verificati durante il processo. Nella mia tesi di laurea, ho lavorato la possibilità di controllare il funzionamento di grandi sistemi di scala per la teoria delle catastrofi di Thom. Il sistema di campionamento per lo studio delle caratteristiche dei sistemi su larga scala è stato scelto il sistema di una centrale termica. Calore-energia produzione è un compito speciale che comprende sia i processi estremamente veloci e le processi estremamente lento, quindi, il sistema di controllo devono soddisfare tutti i requisiti menzionato prima. La prima tesi è di circa l'applicazione della teoria delle catastrofi di Thom applicata su larga sistemi di scala come un nuovo strumento di metodo di calcolo morbido. Vi è una descrizione di come fare decisione se il controllo fuzzy logic potrebbe essere applicata a sistemi di controllo su larga scala, in in particolare, come sistema di controllo della tecnologia di produzione di vapore. Si introduce come dividere il sistema di vasta scala in sottosistemi larga scala con l'applicazione di soft computing metodo basato sulla teoria delle catastrofi di Thom. La seconda tesi è di circa un nuovo metodo, come determinare il livello di integrità della sicurezza (SIL) di sistemi su larga scala da parte metodo qualitativo che utilizza speciale evento di Thom teoria della catastrofe, la catastrofe condizionale. La terza tesi comprende la descrizione del sistema di controllo logica fuzzy per l'impostazione funzionamento pressoché ottimale del sistema su larga scala, che il sistema di controllo ha il compito di distribuire il carico temporaneo vapore proporzionalmente alle capacità nominali delle caldaie nella sistema su larga scala. La quarta tesi comprende la descrizione di sistema fuzzy composto analogica circuiti realizzati circuiti FPAD dall'applicazione del modello naturalmente riflesso nell'uomo sistema nervoso. L'operazione naturalmente riflesso è descritto da descrizione formale di Chomsky interessato sulle macchine a stati finiti di cellule neurali, la cellula neurale afferente, e l'intermedio delle cellule neurali, e il moto-neurone.
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3 2. Il background scientifico Dal momento che l'uomo aveva iniziato a utilizzare gli strumenti per migliorare le condizioni vitali, la maggior parte dei importante attività di umano era stato il riconoscimento e l'apprendimento. Il riconoscimento è stato con particolare attenzione per l'ambiente di osservare e studiare il funzionamento di ambiente locale, e per imparare ad applicare tali regole operative. Che la conoscenza, le conoscenze apprese è stata la base di sviluppo di strumenti, lo sviluppo tecnico e di sviluppo sociale. Soft Computing, un approccio innovativo per la costruzione computazionalmente intelligente sistemi, è appena venuto alla ribalta. E 'ormai conto che complessi problemi del mondo reale richiedono sistemi intelligenti che combinano conoscenze, tecniche e metodologie di varie fonti. Questi sistemi intelligenti dovrebbero possedere competenze humanlike all'interno un dominio specifico, adattarsi e imparare a fare meglio in diversi ambienti, e spiegare come prendere decisioni o intraprendere azioni. Nell'affrontare informatici reali problemi, è spesso vantaggioso utilizzare diverse tecniche di calcolo sinergicamente non esclusivamente, con conseguente costruzione di sistemi intelligenti ibridi complementari. La quintessenza della progettazione di sistemi intelligenti di questo tipo è neuro-fuzzy computing: reti neurali che riconoscono schemi e adeguarsi per far fronte alle mutevoli ambienti, sistemi di inferenza fuzzy che incorporano la conoscenza umana e di eseguire inferenze e il processo decisionale. L'integrazione di questi due approcci complementari, insieme con alcune tecniche di ottimizzazione privo di strumenti derivati, si traduce in una nuova disciplina chiamato neuro-fuzzy e Soft Computing. Soft Computing è costituito da diversi paradigmi di calcolo, comprese le reti neurali, teoria Fuzzy set, ragionamento approssimato, e metodi di ottimizzazione privo di strumenti derivati, quali algoritmi genetici e simulati ricottura. Ciascuna di queste metodologie costituenti ha il suo propria forza, come riassunto nella tabella 1. Metodologia Forza Rete neurale Apprendimento e di adattamento Teoria degli insiemi fuzzy Rappresentazione della conoscenza attraverso sfocati IF-THEN regole Algoritmo genetico e simulated annealing Sistematica ricerca casuale Convenzionale AI Manipolazione simbolica Tabella 1. Componenti di soft computing (le prime tre voci) e artificiali convenzionali intelligenza (Jang et al., 1997, p.2) L'integrazione di queste metodologie costituisce il nucleo del soft computing: l' sinergismo permette di soft computing per incorporare la conoscenza umana in modo efficace, affrontare imprecisione e incertezza, e imparare ad adattarsi all'ambiente sconosciuto o cambiamento per prestazioni migliori. Per l'apprendimento e di adattamento, soft computing richiede una calcolo. In questo senso, soft computing condivide le stesse caratteristiche computazionale intelligenza. Applicazione di oft informatica nei sistemi di grandi dimensioni richiede un nuovo approccio, quando l'operazione di supervisione e tecnologici devono essere composti in un sistema unificato. Significa che la tecnologia e il sistema di controllo sono "il sistema" insieme. Lo sviluppo del sistema tecnologico complesso richiede nuovo metodo in sviluppo di controllo di processo sistemi: il processo tecnologico sarà controllato dalla considerazione delle caratteristiche estreme di processo. Lo strumento per descrivere il sistema tecnologico complesso è catastrofe di Thom teoria. Teoria delle catastrofi di Thom è basata sulla classificazione dei punti critici. Gli descrizione della classificazione è fatta da lemma di Morse. Lemma di Morse è stato utilizzato per descrivere i punti critici di funzioni, l'inflessione, i valori estremi. Queste critiche punti di Morse hanno una stabilità perturbazione che significa che non si verifica il cambiamento di
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4 loro tipi. Thom ha classificato catastrofi in sette gruppi: inflessione catastrofe, picco catastrofe, a coda di rondine catastrofe, la catastrofe farfalla, ombelico ellittiche, iperboliche ombelico, e ombelico parabolico. L'applicazione della teoria delle catastrofi di Thom per il controllo è introdotta dal desription di controllo per un sistema di alimentazione di calore. I processi tecnologici di vapore produzione è stata descritta in conformità con la teoria delle catastrofi di Thom. Tuttavia, questo lavoro non include la fisica del processo di produzione di vapore. La descrizione generale di produzione di vapore è la funzione di van der Waals. Gli superficie, serie di curve pV dipendeva dalla temperatura T è superficiale catastrofe. Quella catastrofe è catastrofe picco, in cui la zona di biforcazione divide gli stati in tre sezioni. Le sezioni possono essere presenti dalla densità di miscela acqua-vapore dipendeva dal temperatura. Il rapporto dei prodotti possono essere classificati in gruppi descritti da loro funzione di appartenenza mostrata in Figura 1. I cluster sono separati dai quartieri della zona di biforcazione. Sembra che i contenuti omogenei, né acqua o vapore sono fuori zona di biforcazione, soltanto. Ci sono miscela di acqua calda e vapore all'interno della zona di biforcazione. La composizione della miscela può essere espressa dalla funzione di appartenenza µ (T), T = T 1 , ..., T i , ..., T j , ..., T n mentre la pressione viene considerato variabile costante da Maxwell. Questo teoria è la base del nuovo approccio applicato per il controllo del sistema di produzione di vapore, la controllo fuzzy logic. Nel mio lavoro, mi sono concentrato sul controllo di supervisione della produzione di vapore con logica fuzzy sistema. La possibilità di applicare metodi di soft computing dipendeva la controllabilità del complesso sistema di centrale termica ei processi tecnologici inserita dal tecnologia complessa. Il problema principale è che la funzione di van der Waals non è analitico funzione ma è risultato sperimentale composto di eventuali punti critici di densità variabile. Pertanto, la complessa tecnologia di produzione di vapore è stato decomposto a sottosistemi tecnologici che sono stati studiati, se sarebbero stati descritti come eventi catastrofali. Se i sottosistemi possono essere descritti da funzioni di eventi catastrofali allora il controllo di sottosistemi può essere realizzato tramite controllo logica fuzzy. Questi sottosistemi richiedono una supervisione che può verificarsi le caratteristiche qualitative costanti di vapore prodotto, e la distribuzione del carico nominale di vapore tra i sottosistemi di produzione di vapore, le caldaie. Dipartimento di Automatica presso l'Università di Miskolc si occupa di morbida Informatica applicata per il controllo di estremi processi veloci lenti e estremo nella ricerca per diversi anni condotto dal professor István Ajtonyi. Figura 1. La funzione di appartenenza sullo spazio catastrofe p T µ (T i ) Acqua Vapore P (p c , T c ) p i = Cost. µ (T j ) µ (T n ) p j = Cost. p n = Cost. C
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5 Il Dipartimento ha ottenuto e ha completato più progetti di TEMPUS, OTKA, MKM, FKFP e altri quelli con successo. Nel FKFP progetto, ho partecipato alla ricerca funziona focalizzata sullo sviluppo di nuovi elementi sfocati funzionali costruiti dei circuiti analogici e dei loro applicabilità. 3. Motivo della ricerca L'applicazione di controllo di logica fuzzy per la supervisione dei processi tecnologici richiede l'analisi delle tecnologie di teoria delle catastrofi di Thom, e richiede la metodo di composizione del controllo gerarchico di logica fuzzy. I compiti sono i seguenti quelli: • esaminando processo tecnologico come sistema larga scala compone di grande scala sottosistemi, • esaminare se i processi tecnologici sono eventi catastrofali di Thom teoria delle catastrofi, • esaminando sottosistemi larga scala dopo decomposizione della tecnologia complessa, se i sottosistemi potrebbero essere controllati tramite controllo logica fuzzy rule-based, • esaminando come il numero di regole fuzzy potrebbe essere ridotto nella logica fuzzy i sistemi di controllo siano essi estremi processi veloci lenti o estreme, • sviluppo del metodo di calcolo morbido per determinare il livello di integrità della sicurezza, • lo sviluppo dei neuroni sfocati utilizzati nel sistema di controllo gerarchico, • sviluppo di un nuovo sistema di controllo della logica fuzzy per la supervisione di grandi dimensioni sistemi. 4. Gli obiettivi di questa ricerca Il metodo di calcolo morbido è uno strumento per creare oggetti artificiali con la capacità di adattamento di l'ambiente tecnico e il requisito tecnico. La tesi si concentra su quattro temi principali che sono i seguenti: • descrizione dei processi tecnologici con l'applicazione di una catastrofe di Thom teoria, • Descrizione del sistema su larga scala e la sua divisione in sottosistemi su larga scala da parte metodo di decomposizione basata su teoria delle catastrofi di Thom, • funzionamento pressoché ottimale del sistema di controllo gerarchico mediante l'applicazione di Thom teoria delle catastrofi e di ottimizzazione dei costi del Prof. Tóth, • metodo qualitativo per la determinazione del livello di integrità della sicurezza dei sistemi su larga scala dall'applicazione della teoria Thom'scatastrophe, • sistema neurale sfocata composito di neuroni sfocati assemblati da circuiti analogici per i sistemi di controllo fuzzy. 5. I metodi di ricerca È noto che l'applicazione dei risultati scientifici può essere affrontato in due modi dal punto di vista teorico: • sulla base delle loro caratteristiche più importanti, i problemi devono essere raggruppati e metodi applicabili essere destinate ai problemi, questa è l' aspetto problematico, • I metodi sono organizzati in base agli strumenti di soluzioni e problemi sono assegnato ai metodi adatti come esempi, questo è l'aspetto metodologico.
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6 Entrambi i due approcci e la loro combinazione sono stati utilizzati nella mia tesi. Come metodi generali appartenente alla aspetto problematico ho utilizzato la seguente quelli: • l'analisi orientata a riconoscere e conoscendo il problema, • la sintesi mirata alla soluzione dei problemi, • l'ottimizzazione adatto per realizzare le migliori soluzioni determinate dal dato vincoli e le leggi vigenti, • descrizione tecnica e modellazione. Come esempi rappresentativi agli aspetti metodologici, l'applicazione di Thom teoria delle catastrofi, il metodo di Chomsky per la descrizione formale di linguaggi regolari, e applicazione di talune MATLAB-tools può essere menzionato. Ho usato un approccio combinato in 4 Th tesi in cui il sistema di sviluppo di ZETEX per FPAD circuito TRAC-20 è stato utilizzato per rendere i modelli di cellule neurali, e formale descrizione per linguaggi regolari da Chomsky stati usati per descrivere il funzionamento di neurale cellule. 6. I nuovi risultati scientifici - Tesi Il metodo di calcolo molle può verificarsi la semplificazione del controllo di processo. Semplificazione significa la struttura dei dispositivi di controllo tradizionali può essere azionato da regole composta in regola-base. Regola-base è il risultato di esperienze umane, pertanto l'operazione di controllo basato su esperienze umane è simile al processo di problem solving umano. Tesi 1: ho effettuato un nuovo metodo di calcolo morbido per sviluppare il controllo di larga scalare sistemi per l'applicazione della teoria delle catastrofi di Thom. Il nuovo metodo è stato introdotto da sua richiesta di sviluppare un Sistema di tecnologia di produzione di vapore in una centrale elettrica termica controllare. Gli descrizione della produzione di vapore da regola di van der Waals 'si basa su risultati sperimentali. Le caratteristiche del sistema di controllo per la produzione di vapore e l'efficienza può essere aumentata con l'applicazione di una catastrofe di Thom teoria. Ho controllato le caratteristiche del sistema tecnologico operativo descritto nella Capitolo 2, poi ho lavorato le funzioni matematiche dei processi in Capitolo 3 che funziona è stata funzioni catastrofe. Queste funzioni possono essere visto in Figura 2.1 -. Figura 2.5. Tutti catastrofi elementari utilizzate per descrivono i processi tecnologici sono catastrofi basso-ordinato: inflessione catastrofe e la catastrofe di picco. Dal momento che i processi di produzione di vapore sono eventi catastrofali, e stati di processi possono essere descritti da funzioni di appartenenza mostrate in figura 1, la sistema di produzione vapore può essere descritto dalle seguenti regole fuzzy: • se (p, t) è fuori di biforcazione zona e t è maggiore di T c poi ci sono vapore insaturo, • se (p, t) è all'interno della zona di biforcazione poi ci sono composizione hot acqua e vapore saturo, • se (p, t) è fuori di biforcazione di zona e t è minore di T c poi ci sono acqua calda. dove (p, t) sono le coordinate di un punto di lavoro, e (p c , T c ) Sono il coordinate del punto critico P, il picco di catastrofe.
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7 Figura 2.4. Controllo di iniezione quantità d'acqua Figura 2.3. Controllo della velocità di blaster ventilatore a) b) Figura 2.5. Controllo della pressione all'interno della camera del forno da controllando il numero di rivoluzione Blaster e aspiratore: a) locus di possibili punti di lavoro, b) Campo di applicazione per il controllo Figura 2.1. Controllo di acqua di alimentazione valvola Figura 2.2. Controllo della quantità di carburante
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8 Poiché la pressione p può essere visto come valore costante dalla regola di Maxwell poiché la pressione nel sistema di produzione di vapore è impostato per essere un valore costante, Pertanto, le regole linguistiche di controllo fuzzy possono essere semplificate, e fuzzy logica di controllo può essere modificata, se la descrizione linguistica di regole fuzzy sono le seguenti mentre la pressione p è considerato come valore costante: • se t è inferiore allora T c e il punto di lavoro è fuori dalla zona di biforcazione poi ci sono solo acqua calda nel sistema, niente vapore, • se t è inferiore allora T c e il punto di lavoro è all'interno della zona di biforcazione poi ci sono acqua bollente e vapore saturo nel sistema, • se t è maggiore di T c poi ci sono solo vapore insaturo. Il funzionamento della caldaia deve essere controllata in conformità al secondo regola, cioè il punto di lavoro deve essere impostato nella zona di biforcazione. La dichiarazione di mezzo è caratterizzato dalla funzione di appartenenza per il rapporto di illustrazione componenti nel mezzo mostrate nella Figura 1. Il sistema di controllo deve essere interagire in cui il punto di lavoro si avvicina al quartiere di biforcazione di zona, cioè il valore di appartenenza è chiuso al 1. Le catastrofi elementari controllato da loro funzioni sono stabili strutturalmente secondo lemma di Morse, e quelle funzioni che descrivono il funzionamento dei sottosistemi sono funzioni catastrofe, quindi sono strutturalmente stabile, in modo che il sistema di larga scala consisteva di tali sottosistemi è anche strutturalmente stabile. Come i processi tecnologici di produzione di vapore potrebbe essere descritto da funzioni elementari come catastrofe inflessione catastrofe e la catastrofe di picco, quindi, quei processi sono stabili strutturalmente. Il numero di regole fuzzy ha dovuto essere ridotto per ridurre il periodo di controllare il sistema senza peggiorare la stabilità del processo. Per raggiungere questo obiettivo, applicata la decomposizione del sistema su larga scala di dividerlo in sottosistemi. Decomposizione è stato richiesto di descrivere i processi tecnologici con basso funzioni catastrofe ordinato che ha portato più basso numero di regole fuzzy in il controllo di sottosistemi. Relazione tra i sottosistemi sono mantenuti dai parametri tecnologici, e la modifica dei parametri tecnologici ogni sottosistema si verifica l'interazione di altri sottosistemi di controllo. Può essere dichiarato che i processi descritti come eventi catastrofici possono essere controllata dalla logica fuzzy, poiché a) l'evoluzione della dichiarazione di evento catastrofe può essere descritto da funzione di appartenenza disegnato sulla superficie catastrofe, b) sistema su larga scala descritto dalla teoria delle catastrofi può essere suddiviso in sottosistemi che sono anche catastrofi stessi, c) sottosistemi larga scala sono strutturalmente stabili, e la grande scala sistema consisteva di questi sottosistemi è anche strutturalmente stabile, in secondo lemma di Morse, d) il numero di regole fuzzy linguistiche dipende dall'ordine di funzione catastrofe usato per descrivere il processo di controllo, e) modifica dei parametri di uscita si verifica l'interazione di controllo sottosistemi e risulta la composizione della tecnologia e del controllo in un sistema omogeneo. Capitolo 5 contiene la descrizione delle funzioni di appartenenza e la catastrofe funzioni per il controllo dei dispositivi di output. ***
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9 Controllo di sistemi su larga scala deve soddisfare le norme di sicurezza dalla norma IEC 61508. La sicurezza di qualsiasi sistema tecnologico può essere caratterizzato dalla Safety Integrity Level SIL. Ci sono due metodi per determinare il SIL, il metodo quantitativo e metodo qualitativo. Il metodo quantitativo si basa sul set di dati storici raccolti - frequenza dei errori, misura del danno dell'ambiente, il numero di fallimenti di sensori e attuatori, - e il valore di SIL può essere calcolato con l'algoritmo dalla norma IEC 61508. Il metodo qualitativo ha bisogno di esperienze in merito alle caratteristiche operative dei grandi sistema - che tipo di errori sono stati causati, essi erano pericolosi per l'uomo, quanto livelli di sicurezza indipendenti sono stati utilizzati, - che dà la possibilità di determinare il SIL. Gli standard comprende proposte per l'applicazione del metodo qualitativo. Nel mio lavoro ho effettuato un metodo per determinare il SIL basata sul metodo di calcolo morbido. Il mio metodo per determinazione del SIL utilizza la matrice di gravità dalla IEC 61508. Per risolvere il compito ho applicato Thom'stheory per catastrofi condizionali. Thezis 2: Ho effettuato l'applicazione del metodo qualitativo per la determinazione del SIL conformemente alle proposte della norma IEC 61508, utilizzando di Thom teoria delle catastrofi. Il Safety Integrity Level SIL è una misura per la funzione di tecnologico dispositivi applicati nella processo controllato che dipende dal numero di guasti causati nel corso di una unità di tempo. Tabella 2 include il rapporto tra il SIL e il valore medio di fallimenti in conformità con le proposte norma IEC 61508. Ho determinato il SIL con l'applicazione di metodo quantitativo per la sottosistemi di produzione di vapore. La descrizione del calcolo è la a seguito di: a) vano forno Fiamma tollerabile fuori frequenza: Ft = 2/anno. Probabilità di esplosione a causa di un evento non è maggiore di 1/4: Pe = 1/4 = 0,25. Frequenza di un'esplosione: Pc = 1 per ogni 5000 anni. Intollerabile frequenza di rischio: Protetto frequenza di rischio: Fattore di riduzione del rischio: Disponibilità di sicurezza: SIL Modalità a bassa richiesta di funzionamento (Probabilità media di guasto a svolgere la sua funzione di progettazione su richiesta) 4 = 10 -5 a 10 -4 [1/anno] 3 = 10 -4 a 10 -3 [1/anno] 2 = 10 -3 a 10 -2 [1/anno] 1 = 10 -2 a 10 -1 [1/anno] . Tabella 2 SIL da IEC61508 FNP = Ft Pe = 2 · 0.25 = 0.5 [1/anno]. 1 5000 Fp = = = 0.0002 [1/anno]. 1 Pc RRF = = = 2500. FNP Fp 0.5 0.0002 SA = 100 [%] = 100 = 99.9 [%]. RRF - 1 RRF 2500 - 1 2500
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10 Probabilità di guasto su richiesta: Il livello di integrità di sicurezza del vano forno da Tabella 2: SIL = 3. b) tamburo del vapore (controllo del livello dell'acqua di alimentazione) Tollerabile frequenza fallimento del livello dell'acqua: Ft = 1/anno. Probabilità di esplosione a causa di fallimento di tamburo del vapore non è maggiore 1/6 per anno: Pe = 1/6 = 0,167. Frequenza di guasto: Pc = 1 per ogni 5000 anni. Frequenza intollerabile: Protetto frequenza di rischio: Fattore di riduzione del rischio: Disponibilità di sicurezza: Probabilità di guasto su richiesta: Il livello di integrità della sicurezza del tamburo del vapore dalla Tabella 2: SIL = 2. c) iniezione di acqua (controllo della temperatura del vapore in uscita) Tollerabile frequenza fallimento di iniezione di acqua: Ft = 1/anno. Probabilità di guasti del sistema di iniezione di acqua non maggiore di 1/10 per anno: Pe = 1/10 = 0,1. Frequenza di guasto: Pc = 1 per ogni 5000 anni. Frequenza intollerabile: Protetto frequenza di rischio: Fattore di riduzione del rischio: Disponibilità di sicurezza: PFDavg = = = 4 · 10 - 4 . 1 RRF 1 2500 FNP = Ft Pe = 1 · 0,167 = 0,167 [1/anno]. 1 5000 Fp = = = 0.0002 [1/év]. 1 Pc RRF = = = 835. FNP Fp 0.167 0.0002 SA = 100 [%] = 100 = 99,8 [%]. RRF - 1 RRF 835 - 1 835 PFDavg = = = 1.19 · 10 - 3 . 1 RRF 1 835 FNP = Ft Pe = 1 · 0,1 = 0,1 [1/anno]. 1 5000 Fp = = = 0.0002 [1/anno]. 1 Pc RRF = = = 500. FNP Fp 0.1 0.0002 SA = 100 [%] = 100 = 99,8 [%]. RRF - 1 RRF 500 - 1 500
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11 Probabilità di guasto su richiesta: Il livello di integrità di sicurezza del sistema di iniezione di acqua dalla Tabella 2: SIL = 2. Ho effettuato il sistema fuzzy logic per determinare il SIL dall'applicazione della matrice di gravità e la catastrofe condizionale. La catastrofe condizionale è un evento speciale della catastrofe interruttore quando l'evoluzione di un evento dipende in qualsiasi condizione ambientale, come descritto nella sessione 4.11 di tesi di laurea. La condizione nella determinazione del livello di integrità di sicurezza è il valore di la probabilità dell'evento, che ha tre valori linguistici, basso, medio, alto. Gli SIL determinato dal metodo di calcolo morbido è riassunto in Tabella 3. Per confronto valori SIL mediante il metodo quantitativo e morbido metodo di calcolo, sembra che SIL del sistema di iniezione d'acqua differiscono da vicenda. La ragione di questa differenza è che la gravità dello scompenso in acqua sistema di iniezione è basso e non così pericolosa per il sistema completo di caldaia, e questa funzionalità non è preso in considerazione per il metodo quantitativo, perché Questa funzione non può essere valutata numericamente. *** Il requisito di funzionamento pressoché ottimale del sistema è il costo minimo funzionamento. La composizione del criterio del costo minimo si è basato su Prof. La teoria di Tibor Tóth incentrata su un nuovo approccio di ottimizzazione dei costi. La produzione di vapore è un continuo processo nel tempo, e la base di calcolo dei costi è il rapporto delle capacità nominali dei caldaie individuali. I costi di vapore prodotto è calcolato dai costi specifici del carico distribuito vapore su caldaie individuali. Tesi 3: Ho risolto il sistema di supervisione per soddisfare il funzionamento pressoché ottimale quando il carico temporaneo vapore è distribuito tra le caldaie per il rapporto di capacità nominali delle singole caldaie, e il minimo di esercizio costi. Il compito del sistema di vigilanza è quello di rendere la distribuzione proporzionale tra le caldaie. Il rapporto di distribuzione del carico del vapore dipende dalla carico del vapore temporanea della centrale elettrica calore e il carico temporaneo di vapore caldaie individuali. Cambiando la distribuzione di carico può essere verificato dal caricando sulla centrale elettrica di calore, e la modifica della distribuzione può essere avviato dal sistema di controllo di caldaie individuali. Il cambio della distribuzione è avviata dall'unità di controllo della caldaia quando il carico vapore su qualsiasi singola caldaia è vicino al minimo, il punto critico della funzione. In Figura 3 è mostrata la funzione di richiesta di cambiamento del distribuzione. Sembra che la quantità di vapore al minimo non può essere misurata dall'orifizio differenziale, e quindi il sistema di controllo delle richieste di caldaia il cambio della distribuzione. PFDavg = = = 2 · 10 - 3 . 1 RRF 1 500 Sottosistema Gravità Protezione strati Probabilità di evento SIL Vano forno ampio singolo medie 3 Tamburo di vapore grave singolo alto 2 Iniezione di acqua minore singolo medie 1 Tabella 3. SIL calcolato con il metodo di calcolo morbido
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12 Il sistema di supervisione è mostrato in Figura 4 dove m i è il coefficiente di carico di vapore e è il carico vapore temporanea sul sistema su larga scala. Carico del vapore sulla esimo caldaia individuale viene calcolata dall'espressione . Esso può essere dichiarata, che a) il funzionamento del sistema su larga scala è quasi ottimale quando la distribuzione di caricamento è composto dal rapporto di carica nominale di sottosistemi, b) i processi che si verificano l'evoluzione della distribuzione tra le caldaie sono catastrofi di flesso, c) nei sistemi di grandi dimensioni come le centrali di calore, cambiando la distribuzione di caricamento viene avviata sempre dai sottosistemi, d) il sistema di supervisione per il controllo della distribuzione del carico di vapore è neurale sistema fuzzy. *** Figura 4. Schema a blocchi del sistema di supervisione per la centrale termica Vigilanza Controllare FN 1 × FN 2 × FN 14 × + Variabili di input p ST2 T ST2 Ap ST2 x • V carico di vapore Conseguente parti m i m 1 m 2 • • • m 1 V m 2 V m i V Figura 3. Funzione di distribuzione richiesta dipendesse da carico a vapore • n • V = ƒ V i i = 1 • • V i M = i V
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13 Ho sviluppato un sistema neurale analogico operato in conformità a Thom di teoria delle catastrofi. Le regole di funzionamento sono realizzati da connessioni sinaptiche all'interno del di rete, e operativa segnali sono impulsi di tensione sinaptiche. Imparare processo di neurale rete costruita di neuroni sfocati significa la composizione delle connessioni sinaptiche. Il sistema di controllo integrato dei neuroni sfocati consiste di funzioni vegetative e di riflesso funzioni. Le funzioni vegetative sono fornite dal sistema fuzzy consisteva analogico cellule neurali i neuroni afferenti, i neuroni intermedi, e il moto-neuroni. Funzioni riflesse sono fornite dal sistema di corsi riflesse, il "ponte catastrofe" mostrata in Figura 3. Il sistema catastrofe Fuzzy neurale funziona come il sistema nervoso umano dove i corsi reflex offrono attività contro gli effetti estremi. Norme di funzionamento normale sono memorizzato nel sistema di ragionamento, le regole di funzionamento si sono verificati da effetti estremi si trovano in la rete dei corsi riflesse. Tesi 4: ho effettuato una rete neurale sfocata analogica composta da neuroni analogici che opera in conformità con la teoria delle catastrofi di Thom fornito da reflex corsi, e questi corsi sono riflesse controllata dagli eventi, in tempo reale operato neurale sottosistemi e le cellule neurali di sottosistemi neurali sono macchine a stati finiti. Il corso riflesso è la parte fondamentale del sistema nervoso vegetativo che consiste afferente neurone e moto-neurone. Pertanto, il corso riflesso opera veloce, perché gli stimoli - il potenziale eccitatorio o inibitorio potenziale - sono trasferiti al moto-neurone direttamente. Le connessioni sinaptiche tra le cellule neurali neighbored all'interno di un sottosistema si intendono le regole operative di sottosistemi neurali. Connessioni sinaptiche sono connessioni circuitali. Ho sviluppato tre tipi fondamentali di cellule neurali, il neurone afferente, il semestrale neurone, e il moto-neurone. Le funzioni delle cellule neurali sono descritti da descrizione formale, e la struttura circuitale di cellule neurali sono simili, e la loro funzione dipende dalla loro impostazione nella gerarchia del sistema. Cellule neurali sono attivati ??da eventi ambientali - stimoli o sinaptiche potenzialità - e sono in funzione durante il ciclo in tempo reale iniziato da eventi, allora la risposta, l'output provocato da un ingresso specifico è sempre la stessa, e l'istruzione di output di cella non cambia durante il periodo di tempo reale, quindi la cellula neurale opera durante il periodo di tempo reale come una stati finiti macchina. Si può dire che operazioni del neurone afferente, e il sommario neurone, e il moto-neurone sono simili al funzionamento del neurone biologico. Ho descritto le operazioni di neuroni sfocati composte in sfocata analogico sistema da oggetti matematici in conformità con le norme Chomky'sdescription per la descrizione formale dei linguaggi regolari. I grafici e le descrizioni formali delle loro operazioni sono in Figura 6, Figura 7 e Figura 8. Oggetti matematici nelle descrizioni formali sono i seguenti: Q è l'insieme delle dichiarazioni di macchine a stati finiti, S è l'insieme dei segnali di ingresso, d è l'insieme delle regole, e F è l'insieme di finito-stati. Figura 5. Lo schema di catastrofe sistema di inferenza fuzzy Sistema di ragionamento Fuzzificazione Defuzzificazione Rete di Corsi di riflesso
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14 Q = {S, U un , U ep , U ip }, S = {Gp, i pr , F pr }, d = {(S, gp) = U un , (U un , I pr ) = U un , (U un , F pr ) = U ep , (U un , F pr ) = U ip }, F = {U ep , U ip }. gp U A S U ep f pr f pr i pr U ip Figura 6. Grafico e la descrizione formale di neurone afferente Q = {S, U e1 , U e2 , ..., U ex , U AC }, S = {Ep 0 , Ep 1 , ..., Ep x , Ip 0 , Ip 1 , ..., Ip x }, d = {(S, ep 0 ) = U e1 , (S, ip 0 ) = S, (U e1 , Ip 1 ) = S, (U ej , Ep j ) = U e (j +1) , , (U ej , Ep j ) = U AC , (U ex , Ep x ) = U AC , (U ej , Ip j ) = U e (j-1) }, F = {U AC }. i p0 ep 1 S U e1 U ex U e2 U AC ep 2 ep x-1 ep x ep 0 ep 1 ep 2 ep x-1 i p1 i p2 i p3 i px Figura 7. Grafico e la descrizione formale di neurone intermedio Q = {S, U AC }, S = {E p , I p , e }, d = {(S, i p ) = S, (S, e p ) = U AC , (U AC , e ) = S}, F = {U AC }. e e p i p U AC S Figura 8. Grafico e la descrizione formale del moto-neurone
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15 Queste cellule neurali hanno particolari operazioni descritte da formale descrizioni e hanno le seguenti caratteristiche: a) le operazioni del neurone afferente, e il neurone intermedio, e le moto-neurone sono simili al funzionamento dei neuroni organici, b) tutti i neuroni hanno operazioni specificate, e possono essere utilizzati per solo quelle operazioni, c) cellule neurali funzionano come macchina a stati finiti s durante il tempo reale periodo, d) la cellula neurale afferente è un non-determinata, completamente specificato stati finiti macchina, e) il moto-neurone è una determinata, completamente specificato macchina a stati finiti, f) la cellula neurale interim è un finito-non-determinata, non completamente specificato macchina a stati. Queste cellule neurali possono essere composti in reti neurali, analogamente alla sistema nervoso umano. Le caratteristiche tecniche e le operazioni di artificiale cellule neurali sono descritti nell'appendice 2, appendice 3, e l'Appendice 4. 7. Applicazione dei nuovi risultati scientifici Risultati scientifici possono essere utilizzati direttamente nella supervisione delle centrali di calore. L'applicazione di controllo logica fuzzy per la supervisione di un sistema di grandi dimensioni può essere realizzata per tappe. Questo significa ogni sottosistema larga scala può essere azionato singolarmente, anche. Pertanto, sottosistemi di controllo possono essere implementati nel sistema gerarchico in cui la gerarchia è costruito da rete comunicazionale. Il controllo gerarchico costruito dei neuroni sfocati è dedicato per il controllo del modellato processo, soltanto. Le regole fuzzy sono apprese dalle connessioni sinaptiche tra le cellule nervose. Sinapsi tra cellule neurali possono essere realizzati sia con software dei sistemi digitali o reali connessioni a sistemi costruiti su circuiti analogici. I risultati della mia ricerca scientifica possono essere applicate se • il funzionamento del sistema tecnologico potrebbe essere descritto da una catastrofe di Thom teoria, • il sistema tecnologico potrebbe essere scomposto in singoli sottosistemi che possono essere sia sottosistemi larga scala, • le caratteristiche tecnologiche di un sistema su larga scala dedicato devono essere apprese e utilizzato, • gli errori verificatisi in uscita si propagano a ritroso attraverso la vigilanza sistema di influenzare gli stati di sottosistemi controllati e la pianta. Il sistema di controllo su larga scala gestito da teoria della catastrofe di Thom può essere usato in • controllo di processo in tempo reale in cui i sottosistemi di grandi dimensioni sono gestite da lorosingoli sottosistemi di vigilanza e sottosistemi sono coinvolti in una grande scala sistema da parte del sistema di supervisione del controllo gerarchico che decide il relazione tra i singoli sottosistemi e l'obiettivo (s), • tecnologie dove il costo di produzione dipende dalle capacità di sottosistemi , e il controllo economico del sistema su larga scala richiede veloceinterventi per modificare la distribuzione del carico per il rapporto tra le capacità dei singoli sottosistemi di grandi dimensioni, come una centrale termica coinvolto più caldaie, centrale elettrica ha coinvolto più generatori, tecnologie metallurgiche a scoppio forno, processi nei reattori nucleari,
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16 • Sistemi di controllo per il controllo estremo processi lenti o estremo , come il vaporetecnologia di produzione, o il controllo di stabilità di velivoli ad alta velocità, o il funzionamento della centrale nucleare, • Systems Manager di vigilanza in cui la capacità umana non è sufficiente per controllare sicurezza dei processi di sistemi su larga scala, come centrali elettriche, altiforni,reattori nucleari, il controllo del traffico aeroportuale.
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17 Riferimenti relativi alla tesi 1. Ormos L. [1986]. "A" "robotok." Zöld AUTOMATIZÁLÁS 1986/8, p. 35 - 39, PRODINFORM, Budapest, HU ISSN 0733-1620 2. Ormos L. [1993]. "Folyamatirányító berendezések multiprogramozása." MTA Szabolcs-Szatmár-Bereg Megyei Tudományos Testülete, Nyíregyháza, ISBN 03 963 8048 4, 62 o. 3. Ormos L. [1994] "Un CAQ helye un vállalati információs rendszerben." (Jegyzet), TÜV Akadémia Hungária, Budapest. 4. Ormos L. -Tarnay K. [1994]. "Descrizione formale di funzione e il funzionamentodi intelligenza artificiale in un ambiente naturale. " Combio '94 L'Modellazione computazionale in Biosciences Nyíregyháza, Atti p.198- 210, ISBN 963 07 8048 7 5. Ormos L. [1995]. "Un modello di Neuron per l'Intelligenza artificiale utilizzato nella Ambiente Naturale ". Combio '95 Il Computational Modelling inBiosciences, Kecskemét, Atti p. N.3-N.5. , KFKI-1995-14/MH 6. Ormos L. [1996]. "Descrizione formale come strumento per l'Intelligenza Artificiale per imparare le regole di funzionamento in un ambiente naturale. "ROBOTICA IN ALPE-ADRIA-Danubio REGIONE RAAD'96, Budapest, Atti p.553-555, ISBN 963 420 482 1 7. Ormos L. [1997]. "Neural pre-trattamento di dati originata dal naturale ambiente ". 3 rd Simposio Internazionale su sensori in orticoltura, Tiberias, Israele, Atti, p.59 8. Ormos L. [1999]. "On-Board Neural Network Flight Control Sulla base del Modello di Human Corso Reflex. "12. Magyar Repüléstudományi napok, Budapest-Nyíregyháza, Kiadvány 59-65. o., ISBN 963 03 7803 9. Ormos L. [1999]. "Ambiente amico fuzzy-controllo a effetto serra da parte artificiale intelligence basata sul funzionamento del sistema nervoso umano ". Laboratorio britannico-israeliano sulle Tecniche serra verso il 3 rd Millenium, Haifa, Israele 10. Ajtonyi I. - Ormos L . [2000]. "Intelligenza Artifcial per il controllo in tempo reale diprocesso lento "TEMPUS Intcom 2000 Simposio su Sistemi Intelligenti nel controllo e misurazione, Veszprém, Atti p. 117-125. 11. Ormos L. [2000]. "FPAD-alapú neurális fuzzy-Sejt áramköri kialakítása "(kutatási megbízás, 18 o; témaszám:. FKFP 6.990.625)., Miskolci Egyetem, 2000. 12. Ormos L. [2001]. "Descrizione formale come strumento per descrivere lo sviluppo e il rapporto delle piante a serra ". 4 Th Simposio Internazionale su Modellazione matematica e simulazione in agricoltura e bio-industrie, Haifa, Israele, Atti su CD-ROM. 13. Ormos L. [2001]. "Controllo di stabilità di volo longitudinale durante lo sweep-back angelo ala da neurale fuzzy-controllo. "Terza Conferenza Avionics-Warmia 2001 Waplewo, Polonia, Atti p. 95-101, ISSN 0209-2689
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18 14. Ormos L. [2001]. "FPAD-alapú neurális fuzzy-Sejt áramköri kialakítása." GÉP 2001/8, p. 24-27. ISSN 0016-8572 15. Ormos L. [2001]. "Neural pre-trattamento di dati originata dal naturale ambiente. "Acta Horticulturae, ISHS, Leuven, 2001 Novembre, Numero 562. p. 269-272, ISSN 0567-7572, ISBN 90 6605 95 40 16. Ormos L. [2001]. "FPAD alapú fuzzy-Sejt bemérése, FPAD alapú neurális Sejt bemérése és alkalmazás neuro-fuzzy fejlesztés "(kutatási megbízás, 25 o..; témaszám: 6 010607 FKFP 39/99), Miskolci Egyetem..



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